Sujets corrrigés Mathématiques séries S et C de 1999 à 2025

I. Matrices

On considère les matrices :

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -3 & -3 & 6 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]

1. Montrer que \(B\) est l'inverse de \(A\) (0,5 pt)
2. Calculer \(A + C\) (0,25 pt)
3. Démontrer par récurrence que \(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}, C^n = \begin{pmatrix} 2^n & n2^n & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}\) (0,75 pt)

II. Probabilités

On dispose de quatre trous \(T_1, T_2, T_3, T_4\) et quatre billes numérotées 1, 2, 3 et 4.

1. Soit \(A\) l'événement : « La bille numéro 2 est dans le trou \(T_2\) ». Montrer que \(P(A) = \frac{1}{4}\) (0,25 pt)
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de billes reçues par le trou \(T_3\). Donner la loi de probabilité de \(X\) (0,75 pt)
3. On lance \(n\) fois de suite les billes. Soit \(p_n\) la probabilité que \(A\) soit réalisée au moins une fois. Déterminer le plus petit \(n\) tel que \(p_n \geq 0,99\) (0,5 pt)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

On considère les points \(A(1; -1; 1)\), \(B(3; 2; 1)\) et \(C(2; -1; 0)\).

1. Vérifier que l'équation du plan \(ABC\) est : \(3x - 2y + 3z - 8 = 0\) (0,25 pt)
2. Écrire une équation cartésienne du plan \(P\) contenant \(B\), de vecteur normal \(\overrightarrow{AC}\) (0,5 pt)
3. Démontrer que l'intersection des plans \(ABC\) et \(P\) est une droite \(D\) (0,75 pt)
4. Déterminer les coordonnées du point \(I\), intersection des trois plans \(ABC\), \(P\) et \(Q: x - y + z = 1\) (0,5 pt)

\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tels que \(AB, AC = \frac{\pi}{2}\) et \(AB = AC = 3cm\).

Soient :

• \(I\) le milieu de \(BC\) et \(J\) le milieu de \(AC\).
• \(E\) le point symétrique de \(B\) par rapport à \(A\).
• \(r\) la rotation de centre \(C\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).
• \(t\) la translation de vecteur \(CA\).
• \(h\) l'homothétie de centre \(I\) et de rapport 2.

On pose \(f = t \circ r\) et \(g = h \circ f\).

Partie A

1. a) Déterminer et construire le point \(D\) barycentre du système \(S = \{(A, 1); (B, -1); (C, 1)\}\) (0,25 pt × 2)

   b) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel \(k\) la nature de l'ensemble \(E_k\) des points \(M\) du plan vérifiant \(MA^2 - MB^2 + MC^2 = k\). (On pourra montrer que \(MD^2 = k + 18\).) (0,5 pt)

2. Soit \(\mathcal{B}\) le cercle de centre \(C\) et de rayon \(CB\) dont l'intersection autre que \(B\) avec \(BC\) est notée par \(F\). Montrer que \(ED = \frac{1}{2} EF\). (0,5 pt)

3. a) Donner la nature de \(f\). (0,25 pt)

   b) On note \(K\) le milieu de \(ED\). En décomposant \(t\) et \(r\) en deux symétries orthogonales convenablement choisies, déterminer les éléments caractéristiques de \(f\). (0,75 pt)

4. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de \(g\). (0,5 pt)

Partie B

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct \( (A, AB, AC) \).

1. Donner l'affixe du point \(I\). (0,25 pt)

2. a) Déterminer les expressions complexes de \(t\), \(r\) et \(h\). (0,5 pt)

   b) En déduire les expressions complexes de \(f\) et \(g\). (0,5 pt)

   c) A l'aide de l'expression complexe, retrouver les éléments caractéristiques de \(g\). (0,5 pt)

Partie C

Dans l'ensemble \(C\) des nombres complexes, on considère le polynôme \(P\) défini par :

\[P(z) = z^3 + (3 - 3i)z^2 + (1 - 6i)z - 1 - 3i\]

Calculer \(P(-1)\) et en déduire toutes les solutions dans \(C\) de l'équation \(P(z) = 0\). (1 pt)

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \begin{cases} 1 + x \ln\left(1 - \frac{1}{x}\right) & \text{si } x < 0 \\ \frac{2}{1 + e^{-x}} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\]

On désigne par \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique \(2cm\).

Partie A

1. a) Montrer que \(f\) est continue en \(x_0 = 0\). (0,5 pt)

   b) Montrer que \(\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = +\infty\) et \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{1}{2}\). (0,5 pt)

   Que peut-on conclure pour la fonction \(f\) ? (0,25 pt)

2. Pour tout \(x \in [0; +\infty[\), calculer \(f'(x)\) où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\). (0,25 pt)

3. a) Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-\infty,0[\) par : \(g(x) = \frac{1}{x-1} + \ln\left(1 - \frac{1}{x}\right)\)

   Étudier la variation de \(g\) et en déduire le signe de \(g(x)\) sur l'intervalle \(]-\infty,0[\). (0,75 pt + 0,25 pt)

   b) Pour tout \(x \in ]-\infty;0[\), montrer que \(f'(x) = g(x)\). (0,25 pt)

4. Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

5. Construire la courbe \(\mathcal{C}\) ainsi que sa tangente (ou ses demi-tangentes) au point d'abscisse \(x_0 = 0\). (1 pt)

Partie B

1. Soit \(h\) la fonction définie sur \([0; +\infty[\) par : \(h(x) = f(x) - x\).

   A l'aide de l'étude de variation de \(h\) sur l'intervalle \([1;2]\), montrer que l'équation \(h(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha \in [1;2]\). (0,75 pt)

2. Démontrer que pour tout \(x \in [1;2] : f(x) \in [1;2]\) et que \(|f'(x)| \leq \frac{2}{3}\). (0,25 pt × 2)

3. On considère la suite numérique \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :

   \[\begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = f(U_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}\]

   a) Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n \in \mathbb{N} : U_n \in [1;2]\). (0,5 pt)

   b) Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N} : |U_{n+1} - \alpha| \leq \frac{2}{3} |U_n - \alpha|\) et \(|U_n - \alpha| \leq \left(\frac{2}{3}\right)^n\). (0,5 pt × 2)

   c) En déduire l'étude de convergence de la suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\). (0,25 pt)

   d) Déterminer le plus petit entier naturel \(n_0\) tel que \(U_{n_0}\) soit la valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près. (0,25 pt)

I. Arithmétique

1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) : \(9^{3n+1} + 4^{6n+1}\) est divisible par 13 (0,5 pt)
2. Résoudre dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) l'équation \(x^2 + 3x = \frac{1}{4}\) (0,5 pt)
3. Résoudre dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) l'équation \(37x - 43y = 1\) (0,5 pt)

II. Calcul Matriciel

On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\)

1. Calculer \(A^2\) et \(A^3\) (0,25 pt × 2)
2. Vérifier que \(4A + A^2 - A^3 = 4I_3\) (0,5 pt)
3. En déduire que \(A\) est inversible et donner \(A^{-1}\) (0,25 pt × 2)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé.

On donne les points \(A(2;3;1)\), \(B(-1;1;1)\), \(C(-3;1;0)\) et \(D(4;-1;3)\).

1. Calculer \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) (0,5 pt)
2. Écrire une équation cartésienne du plan \((ABC)\) (0,5 pt)
3. Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(D\) de vecteur directeur \(\vec{u}(1;2;-1)\) (0,5 pt)
4. Montrer que le plan \((ABC)\) et la droite \((\Delta)\) sont parallèles (0,5 pt)

Dans le plan orienté (\(i\), on considère un carré direct ABCD tel que \(AB = 4cm\) Soit (d) la médiatrice du segment [AB].

On note par :

\[\begin{aligned} &t \text{ la translation de vecteur } \overline{AC}. \\ &t_1 \text{ la translation de vecteur } \overline{DC}. \\ &t_2 \text{ la translation de vecteur } \overline{AD}. \\ &S_{(AD)} \text{ la symétrie orthogonale d'axe (AD)} \\ &f = t \circ S_{(AD)} \end{aligned}\]

S la similitude plane directe qui laisse invariant le point A et transforme C en B.

PARTIE A :

1. a) Prouver que le point C est le barycentre du système \(\{(A; -1); (B; 1); (D; 1)\}\). (0,5 pt)

   b) Déterminer et construire l'ensemble \((r)\) des points M du plan \((\mathcal{F})\) vérifiant

   \[\|-\overline{M}A + \overline{M}B + \overline{M}D\| = \|-\overline{2MA} + \overline{M}B + \overline{M}D\|\] (0,75 pt)

2. Justifier que \(t = t_1 \circ t_2\) (0,5 pt)

3. Décomposer \(t_1\) en deux symétries orthogonales dont l'un des axes est la droite (AD). (1 pt)

4. En utilisant les résultats des questions précédentes, préciser la nature et les éléments caractéristiques de \(f\) (1 pt)

5. Déterminer le rapport et l'angle de S (0,5 pt)

PARTIE B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((A; \overline{AB}, \overline{AD})\)

1. a) Ecrire les expressions complexes de \(t\) et \(S_{(AD)}\) (0,5 pt)

   b) En déduire l'expression complexe de \(f\) (0,5 pt)

   c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(f\) à l'aide de son expression complexe. (0,75 pt)

2. a) En utilisant les hypothèses \(S(A) = A\) et \(S(C) = B\), déterminer l'expression complexe de S. (0,5 pt)

   b) Retrouver le rapport et l'angle de S à l'aide de son expression complexe. (0,5 pt)

Les deux parties A et B sont indépendantes

PARTIE A :

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0; +\infty[\) par

\[\begin{aligned} &f(0) = -2 \\ &f(x) = x - 2 + e^{-\frac{1}{x}} \quad \text{si } x > 0 \end{aligned}\]

On note par \((\mathcal{F})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \overline{i}, \overline{j})\) d'unité 2cm.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x_0 = 0\) de la fonction \(f\) (0,5 pt)

2. a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x \in [0; +\infty[\) où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\) (0,5 pt)

   b) Dresser le tableau de variation de \(f\) (1 pt)

3. Montrer que la droite \((v)\) d'équation \(y = x - 1\) est asymptote à \((\mathcal{F})\). (0,5 pt)

4. Construire la courbe \((\mathcal{F})\) en précisant la demi-tangente au point d'abscisse \(x_0 = 0\) (1,25 pt)

PARTIE B :

On considère la suite \((I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) définie par \(I_n = \int_0^{\frac{1}{4}} \frac{(4x^2)^{n+1}}{1-4x^2} \, dx\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\)

1. Soit \(I = \int_0^{\frac{1}{4}} \frac{1}{1-4x^2} \, dx\)

   En remarquant que \(\frac{1}{1-4x^2} = \frac{1}{2(1+2x)} + \frac{1}{2(1-2x)}\)

   Calculer l'intégrale I. (0,5 pt)

2. Pour tout \(x \in [0; \frac{1}{4}]\) et \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(S_n(x) = 1 + 4x^2 + (4x^2)^2 + \cdots + (4x^2)^n\)

   Vérifier que \(S_n(x) = \frac{1}{1-4x^2} - \frac{(4x^2)^{n+1}}{1-4x^2}\) (0,5 pt)

3. En intégrant \(S_n(x)\) sur l'intervalle \([0; \frac{1}{4}]\), montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\)

   \[\frac{1}{4} + \frac{1}{3 \times 4^2} + \frac{1}{5 \times 4^3} + \cdots + \frac{1}{(2n+1) \times 4^{n+1}} = \frac{1}{4} \ln 3 - I_n\] (1 pt)

4. a) Démontrer que : pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\):

   \[\frac{1}{(n+2) \times 4^{n+2}} \leq I_n \leq \frac{1}{3(n+2) \times 4^{n+1}}\] (1,5 pt)

   b) En déduire la limite de la suite \((I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) (0,25 pt)

5. Calculer \(\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3 \times 4^2} + \frac{1}{5 \times 4^3} + \cdots + \frac{1}{(2n+1) \times 4^{n+1}} \right)\) (0,25 pt)

A. Système linéaire et matrices

On considère le système (S) :

\[\begin{cases} 3x + 7z = 7^{-1} \\ x + y - z = 2 \\ 2x + y - 3z = 1 \end{cases}\]

1. Écrire (S) sous forme matricielle \(AX = B\) (0,25 pt)
2. Calculs avec matrice \(P = \begin{pmatrix} -2 & 11 & -5 \\ 1 & -4 & 2 \\ -1 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) (0,75 pt)
3. En déduire la matrice \(X\) (0,25 pt)

B. Probabilités

On dispose de deux urnes \(U_1\) et \(U_2\). L'Urne \(U_1\) contient trois boules blanches et une boule noire. L'urne \(U_2\) contient une boule blanche et une boule noire. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On appelle \(E\) l'épreuve suivante : On tire une boule de \(U_1\) et on la met dans \(U_2\) puis on tire au hasard et simultanément deux boules de \(U_2\).

Soit \(A\) l'événement : « obtenir deux boules blanches au deuxième tirage. »

1. Montrer que la probabilité de l'événement \(A\) est égale à \(\frac{1}{4}\). (0,75 pt)
2. On répète trois fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve \(E\). Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement \(A\).

3. a- Donner la loi de \(X\). (0,75 pt)

   b- Calculer l'écart-type de \(X\). (0,25 pt)

L'espace est muni d'un repère orthonormé \((0, i, j, k)\)

On donne un point \(A(2; 2; 1)\) et un plan \((\phi^*)\) d'équation : \(3x + 2y + 6z + 33 = 0\)

1. Vérifier que \((\phi^*)\) est strictement parallèle à un plan \((\varnothing)\) contenant \(A\) et de vecteur normal \(n(-3; -2; -6)\). (0,25 pt)
2. Déterminer la distance qui sépare ces deux plans. (0,75 pt)
3. Soit \(H(-1; 0; -5)\). Justifier que \(H \in (\phi^*)\) et que \((AH)\) et \((\phi^*)\) sont orthogonaux. (0,75 pt)
4. Calculer \(\|AH\|\). (0,25 pt)

Dans le plan orienté (\(\mathcal{O}\)), on considère un triangle \(ABC\), rectangle et isocèle en \(A\) tel que \(AB = 4cm\) et \((\overline{AB}, \overline{AC}) = \frac{\pi}{2}\). On désigne par \(O\) le milieu de \([BC]\) et \(E\) celui de \([AC]\).

Soient :

\[\begin{aligned} &\text{r}_1: \text{la rotation de centre } A \text{ et d'angle } \frac{\pi}{2} \\ &\text{r}_2: \text{la rotation de centre } O \text{ et d'angle } \frac{\pi}{2} \\ &\text{On pose } f = r_1 \circ r_2 \end{aligned}\]

Partie I :

1. a) Justifier que \(f\) est une symétrie centrale. (0,5 pt)

   b) En décomposant \(r_1\) et \(r_2\) en deux symétries orthogonales d'axes convenablement choisis, déterminer le centre de \(f\). (0,75 pt)

2. Soient \(D = bary\{ (A, 1), (B; -1), (C; -1) \}\) et \(G = bary\{ (B; 1 - \sqrt{2}), (A; \sqrt{2}) \}\)

   a) Déterminer les points \(D\) et \(G\). (0,25 pt × 2)

   b) Déterminer et construire l'ensemble (f) des points \(M\) du plan (\(\mathcal{O}\)) vérifiant \(MA^2 - MB^2 - MC^2 = -12\). (0,25 pt × 2)

3. Soit \(S\) la similitude plane indirecte qui laisse invariant le point \(B\) et transforme \(A\) en \(C\). Notons par \(F\) le centre de \([CG]\).

   a) Vérifier qu'il existe une homothéie \(h\) de centre \(B\) et transforme \(A\) en \(G\) dont on précisera le rapport. (0,75 pt)

   b) En déduire les éléments caractéristiques de \(S\). (0,75 pt)

4. On note par :

   • (\(\otimes\)) le cercle de centre \(C\) et de rayon \(2\).
   • \(I\) le point d'intersection de (\(\otimes\)) et (f) dont \(I\) se trouve à l'extérieur du carré \(ABDC\).

   Montrer que \(I\) est le centre de la similitude plane directe \(S\), de rapport \(\sqrt{3}\), d'angle \(\frac{\pi}{2}\) et qui transforme \(C\) en \(D\). (0,75 pt)

Partie II :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (\(A, AB, AC\)). On donne \(D(1 + i)\)

1. a) Ecrire l'expression complexe de \(r_1\) et \(r_2\). (0,5 pt)

   b) En déduire l'expression complexe, la nature et l'élément caractéristique de \(f\). (0,75 pt)

2. Déterminer l'expression complexe et les éléments caractéristiques de \(S\). (0,75 pt)

3. Déterminer l'expression complexe de \(S\) et préciser l'affixe de son centre. (0,5 pt)

Pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^*\), On note par \(f_n\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f_n(x) = e^{nx} \ln(1 + e^{-nx})\]

On désigne par \((\mathcal{C}_n)\) la courbe représentative de \(f_n\) dans un plan muni d'un repère orthonormé \((0, i,j)\) d'unité 2 cm.

Partie A :

1. Calculer les limites de \(f_n\) aux bornes de son ensemble de définition (Poser \(X = e^{-nx}\)) (0,25 pt × 2)

2. On considère la fonction numérique \(g_n ; n \in \mathbb{N}^*\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

   \[g_n(x) = \ln(1 + e^{-nx}) - \frac{1}{1+e^{nx}}\]

   a) Vérifier que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g_n\) est strictement décroissante (0,75 pt)

   b) En déduire que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g_n(x) > 0\) (0,75 pt)

3. a) Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\):

   \[f_n^n(x) = ne^{nx} . g_n(x) \quad (0.75pt)\]

   b) Dresser le tableau de variation de \(f_n\) (0,75 pt)

4. Construire la courbe \((\mathcal{C}_2)\) (0,75 pt)

5. En utilisant une intégration par parties, calculer, en cm\(^2\), l'aire du domaine plan limité par la courbe \((\mathcal{C}_2)\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = 0\) et \(x = 1\). (0,75 pt)

Partie B :

On considère l'équation différentielle \((E): y' - 2y = \frac{-2}{1+e^{-2x}}\)

1. Vérifier que l'équation \(f_2(x) = e^{2x} \ln(1 + e^{-2x})\) est une solution de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\). (0,75 pt)

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\), l'équation \((E') : y' - 2y = 0\) (0,75 pt)

3. Montrer qu'une fonction \(\varphi\) est solution de \((E)\) si et seulement si \((\varphi - f_2)\) est solution de \((E')\) (1 pt)

4. En déduire la solution générale de \((E)\). (0,5 pt)

1- a) En utilisant l'algorithme d'Euclide, montrer que 56 et 15 sont premiers entre eux (0,5 pt)

b) En déduire le couple (u,v) ∈ Z × Z sachant que 56u + 15v = 1 (0,5 pt)

2- a) Résoudre dans Z : 56x ≡ 2 [15] (0,5 pt)

b) Déterminer les coordonnées des points, d'abscisses naturelles inférieures ou égales à 37 de la droite (D) d'équation : 56x - 12y - 2 = 0 (0,5 pt)

On dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées 1, 1, 1, 1, 2, 3

1- Calculer la probabilité d'apparition de chaque numéro lors d'un lancer. (0,5 pt)

2- On lance deux fois de suite ce dé, on note a le numéro apparu au premier lancer et b pour le second. Soit (E) l'équation \( x^2 + ax + b = 0 \) dans \( \mathbb{R} \).

Calculer la probabilité de chaque événement suivant :

A : "(E) admet une racine double" (0,5 pt)

B : "(E) admet pour racines -2 et -1" (0,5 pt)

3- On lance n fois de suite et d'une manière indépendante ce dé

Déterminer la probabilité de l'événement

C : "avoir au moins une fois le numéro 1" (0,5 pt)

1) Soit (P) un plan orienté et soit ABCD un carré direct de côté \( a \), \( a > 0 \) de centre E.

F est un point de (P) tel que EBFC est un carré.

1- Déterminer les réels \( \alpha, \beta \) et \( \delta \) tels que C est le barycentre du système

\[ (A ; \alpha), (B ; \beta), (D ; \delta) \] (0,5 pt)

2- a) Déterminer et construire l'ensemble \( (\overline{\mathcal{C}}_a) \) des points M tels que

\[ -MA^2 + MB^2 + MD^2 = \frac{a^2}{2} \] (0,75 pt)

b) Vérifier que \( E \in (\overline{\mathcal{C}}_a) \) (0,25 pt)

3- Soient r la rotation de centre E et d'angle π

S la symétrie orthogonale d'axe (FC)

f la transformation définie par f = r ∘ S

a) En décomposant r en deux symétries orthogonales d'axes convenablement choisis

Montrer que \( f = S_{(AC)} \circ t_{\overline{CE}} = S_{(AC)} \circ t_{\overline{CA}} \) (1 pt)

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f (0,5 pt)

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct \( (0, \vec{u}, \vec{v}) \) d'unité 1cm. Soient A et B deux points de (P) d'affixes respectives -1 - i et 2 - 2i

1) Placer A et B (0,5 pt)

2) a) Déterminer l'affixe du point D image de B par la rotation de centre A et d'angle \(\frac{\pi}{2}\) (0,5 pt)

b) Trouver l'affixe du point C barycentre du système \([(A; -1), (B; 1), (D; 1)]\) (0,5 pt)

c) Donner deux applications affines qui laissent invariant le carré ABCD (0,5 pt)

d) Quelle est l'affixe du point E milieu de [AC] ? (0,25 pt)

3) Soit g la transformation d'écriture complexe

\[ g : z' = \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right) \bar{z} + \frac{\sqrt{3} + i}{2} \]

a) Déterminer l'écriture complexe de g ∘ g. (0,5 pt)

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de g. (0,5 pt)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = \begin{cases} x \ln |x| - x + 2 & \text{si } x < 0 \\ (2 - x) e^x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]

On note \( ( \mathcal{C} ) \) sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) d'unité 1cm.

Partie A

1) a- Montrer que \( f \) est continue en \( x_0 = 0 \) (0,5 pt)

b- Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x_0 = 0 \). Interpréter le résultat. (0,75 pt)

2) a- Étudier les variations de \( f \) (1 pt)

b- Dresser le tableau de variation de \( f \) (0,5 pt)

3) Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( x \in [-5; -4[ \) (1 pt)

4) Construire \( ( \mathcal{C} ) \) et les deux demi-tangentes en \( x_0 = 0 \) (1 pt)

Partie B :

Soit \( I_n \) l'intégrale définie par : pour tout n ≥ 1

\[ I_n = \frac{1}{n!} \int_{0}^{2} (2 - x)^n e^x dx \]

1) En utilisant l'intégration par parties, calculer \( I_1 \). Interpréter le résultat. (0,75 pt)

2) Pour tout n ≥ 1, montrer que \( 0 \leq I_n \leq \frac{2^n}{n!} (e^2 - 1) \) (0,75 pt)

3) Démontrer que pour tout n ≥ 1 :

\[ I_{n+1} = \frac{-2^{n+1}}{(n+1)!} + I_n \] (0,5 pt)

4) Montrer, en utilisant le raisonnement par récurrence que pour tout n ≥ 1 :

\[ 1 + \frac{2}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \cdots + \frac{2^n}{n!} + I_n = e^2 \] (0,5 pt)

5) Soit \( (U_n) \) une suite définie par

\[ U_n = \frac{2^n}{n!} ; n \geq 1 \]

a) En exprimant \( \frac{U_{n+1}}{U_n} \) en fonction de \( n \), montrer que pour \( n \geq 3 \),

\[ U_{n+1} \leq \frac{1}{2} U_n \] (1 pt)

b) Montrer que pour tout \( n \geq 3 \),

\[ 0 \leq U_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} U_3 \] (0,5 pt)

c) En déduire \( \lim_{n \to +\infty} U_n \), puis \( \lim_{n \to +\infty} I_n \) en utilisant la deuxième question. (0,5 pt)

d) Vérifier que

\[ \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{2}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \cdots + \frac{2^n}{n!} \right) = e^2 \] (0,25 pt)

Un appareil de jeu est constitué de 5 cases numérotées de 1 à 5 et d'une seule boule. L'épreuve consiste à faire tomber la boule dans l'une de ces 5 cases.

1. On effectue une épreuve et on suppose qu'il existe un réel positif p tel que \( P_k = (k + 1)p \) où \( P_k \) est la probabilité pour que la boule soit tombée dans la case numéro k avec \( k \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \)

a) Déterminer le réel p (0,75 pt)

b) En déduire que \( p_1 = \frac{1}{10} \) et \( p_3 = \frac{1}{5} \) (0,25 pt)

2. On répète 3 fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve de la question 1)

a) Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée une fois et une seule dans la case numéro 1 (0,5 pt)

b) Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée au moins 2 fois dans la case numéro 3 (0,5 pt)

NB : donner les résultats sous forme de fraction rationnelle irréductible

Pour tout entier naturel n, on pose \( A_n = 5^{4n+2} - 11^{2n+2} \)

1. a) En utilisant une démonstration par récurrence sur n, montrer que \( A_n \) est divisible par 4 (0,5 pt)

b) A l'aide de congruence arithmétique, montrer que \( A_n \) est divisible par 3 (0,5 pt)

2. a) A l'aide du théorème de Gauss, montrer que si un entier relatif N est divisible simultanément par deux entiers relatifs p et q premiers entre eux alors N est divisible par le produit pq. (0,75 pt)

b) Montrer que \( A_n \) est divisible par 12 (0,25 pt)

Dans le plan orienté \( \mathcal{F} \), on considère le triangle équilatéral direct ABC tel que AB = 3 cm, on désigne par G l'isobarycentre des 3 points A, B, C. Soient BDEC un parallélogramme direct tel que \( \overline{CE} = AC \). Soient O le milieu du segment [AB] et F le point d'intersection de la médiatrice de [BD] avec la droite (AB).

Soient :

• \( r_1 \) la rotation de centre A d'angle \( \frac{\pi}{3} \)
• \( r_2 \) la rotation de centre B d'angle \( \frac{\pi}{3} \)
• \( T \) la transformation réciproque de \( r_2 \)
• \( t \) la translation de vecteur \( \overrightarrow{AC} \)
• \( S \) la similitude plane directe de centre A qui transforme le point B en E

On pose \( f = r_1 \circ r_2 \) et \( g = t \circ T \)

Partie A

1. Tracer le triangle AEIC et placer les points O, G, D, E et F (0,5 pt)

2. a) Quelle est la nature de la transformation f ? (0,25 pt)

b) Décomposer \( r_1 \) et \( r_2 \) en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies (0,5×2 pt)

c) Donner les éléments caractéristiques de f (0,5 pt)

3. a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de T (0,5 pt)

b) Caractériser g à l'aide de décomposition de la translation t et de la transformation T en produit de deux symétries orthogonales, dont l'un des axes est la droite (BG) (0,75 pt)

4. Déterminer le rapport et l'angle de S (0,5 pt)

Partie B

Le plan \( \mathcal{F} \) est rapporté au repère orthonormé direct (O, \( \overrightarrow{OE} \), \( \overrightarrow{i} \)).

1. Déterminer les affixes respectives des points A, B, C, E (0,5 pt)

2. a) Donner l'expression complexe de chacune des transformations \( r_1 \) et \( r_2 \) (0,5×2 pt)

b) En déduire l'expression complexe de f (0,5 pt)

3. a) En utilisant les hypothèses S(A) = A et S(B) = E, déterminer l'expression complexe de S (0,5 pt)

b) Retrouver le rapport et l'angle de S à l'aide de son expression complexe (0,5 pt)

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{|x+1| - \sqrt{x^2+1}}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{\ln(1+x)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

On désigne par (C) la courbe de f dans un repère orthonormé (O, i, j) d'unité 2 cm.

1. Montrer que f est continue en x₀ = 0 (0,5 pt)

2. Étudier la dérivabilité à gauche en x₀ = 0 de la fonction f (0,25 pt)

3. Montrer que f n'est pas dérivable à droite en x₀ = 0 (0,5 pt)

4. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (pour la limite en +∞, on pourra poser x = 1/t) (0,25+0,5 pt)

5. a) Déterminer f'(x) sur chacun des intervalles ]-∞, 0[ et ]0, +∞[ où f' est la fonction dérivée de f (0,5 pt)

b) Pour tout x > 0 on pose \( g(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x} \)

A l'aide de l'étude de variation de la fonction g, trouver le signe de g(x) puis de f'(x) sur l'intervalle ]0, +∞[ (0,75 pt)

6. Dresser le tableau de variation de f (0,75 pt)

7. Tracer (C) en précisant les demi-tangentes au point d'abscisse x₀ = 0 (1 pt)

Partie B

Soit (Uₙ) la suite définie par : ∀n ∈ ℕ* Uₙ = \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} \). Soit φₙ la fonction définie sur ]0, +∞[ par :

\[ \varphi_n(x) = \ln[1 + (n+1)x] - (n+2)\ln x \quad \text{où } n \in \mathbb{N}^* \]

1. a) Montrer que φₙ admet un minimum dont on déterminera sa valeur en fonction de n (0,75 pt)

b) En déduire que ∀n ∈ ℕ* ∀x ∈ ℝ₊*\{1\} \( \left[\frac{1+(n+1)x}{n+2}\right]^{n+2} > x^{n+1} \) (1) (1 pt)

2. A l'aide de l'inégalité (1) déterminer le sens de variation de la suite (Uₙ) (0,75 pt)

(on pourra poser x = \( \frac{n}{n+1} \) où n ∈ ℕ*)

3. a) Pour tout n ∈ ℕ*, établir l'inégalité \( \frac{1}{n+1} \leq \int_{n}^{1} \frac{1}{t} dt \) et montrer que ∀n ∈ ℕ*, Uₙ ≥ e (0,25 pt + 0,5 pt)

b) Déduire des résultats des questions précédentes, l'étude de convergence de la suite (Uₙ) (0,25 pt)

4. Calculer \( \lim_{n \to +\infty} U_n \) (0,5 pt)

Un appareil de jeu est constitué de 5 cases numérotées de 1 à 5 et d'une seule boule. L'épreuve consiste à faire tomber la boule dans l'une de ces 5 cases.

1. On effectue une épreuve et on suppose qu'il existe un réel positif p tel que \( P_k = (k + 1)p \) où \( P_k \) est la probabilité pour que la boule soit tombée dans la case numéro k avec \( k \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \)

a) Déterminer le réel p (0,75 pt)

b) En déduire que \( p_1 = \frac{1}{10} \) et \( p_3 = \frac{1}{5} \) (0,25 pt)

2. On répète 3 fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve de la question 1)

a) Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée une fois et une seule dans la case numéro 1 (0,5 pt)

b) Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée au moins 2 fois dans la case numéro 3 (0,5 pt)

NB : donner les résultats sous forme de fraction rationnelle irréductible

Pour tout entier naturel n, on pose \( A_n = 5^{4n+2} - 11^{2n+2} \)

1. a) En utilisant une démonstration par récurrence sur n, montrer que \( A_n \) est divisible par 4 (0,5 pt)

b) A l'aide de congruence arithmétique, montrer que \( A_n \) est divisible par 3 (0,5 pt)

2. a) A l'aide du théorème de Gauss, montrer que si un entier relatif N est divisible simultanément par deux entiers relatifs p et q premiers entre eux alors N est divisible par le produit pq. (0,75 pt)

b) Montrer que \( A_n \) est divisible par 12 (0,25 pt)

Dans le plan orienté \( \mathcal{F} \), on considère le triangle équilatéral direct ABC tel que AB = 3 cm, on désigne par G l'isobarycentre des 3 points A, B, C. Soient BDEC un parallélogramme direct tel que \( \overline{CE} = AC \). Soient O le milieu du segment [AB] et F le point d'intersection de la médiatrice de [BD] avec la droite (AB).

Soient :

• \( r_1 \) la rotation de centre A d'angle \( \frac{\pi}{3} \)
• \( r_2 \) la rotation de centre B d'angle \( \frac{\pi}{3} \)
• \( T \) la transformation réciproque de \( r_2 \)
• \( t \) la translation de vecteur \( \overrightarrow{AC} \)
• \( S \) la similitude plane directe de centre A qui transforme le point B en E

On pose \( f = r_1 \circ r_2 \) et \( g = t \circ T \)

Partie A

1. Tracer le triangle AEIC et placer les points O, G, D, E et F (0,5 pt)

2. a) Quelle est la nature de la transformation f ? (0,25 pt)

b) Décomposer \( r_1 \) et \( r_2 \) en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies (0,5×2 pt)

c) Donner les éléments caractéristiques de f (0,5 pt)

3. a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de T (0,5 pt)

b) Caractériser g à l'aide de décomposition de la translation t et de la transformation T en produit de deux symétries orthogonales, dont l'un des axes est la droite (BG) (0,75 pt)

4. Déterminer le rapport et l'angle de S (0,5 pt)

Partie B

Le plan \( \mathcal{F} \) est rapporté au repère orthonormé direct (O, \( \overrightarrow{OE} \), \( \overrightarrow{i} \)).

1. Déterminer les affixes respectives des points A, B, C, E (0,5 pt)

2. a) Donner l'expression complexe de chacune des transformations \( r_1 \) et \( r_2 \) (0,5×2 pt)

b) En déduire l'expression complexe de f (0,5 pt)

3. a) En utilisant les hypothèses S(A) = A et S(B) = E, déterminer l'expression complexe de S (0,5 pt)

b) Retrouver le rapport et l'angle de S à l'aide de son expression complexe (0,5 pt)

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{|x+1| - \sqrt{x^2+1}}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{\ln(1+x)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

On désigne par (C) la courbe de f dans un repère orthonormé (O, i, j) d'unité 2 cm.

1. Montrer que f est continue en x₀ = 0 (0,5 pt)

2. Étudier la dérivabilité à gauche en x₀ = 0 de la fonction f (0,25 pt)

3. Montrer que f n'est pas dérivable à droite en x₀ = 0 (0,5 pt)

4. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (pour la limite en +∞, on pourra poser x = 1/t) (0,25+0,5 pt)

5. a) Déterminer f'(x) sur chacun des intervalles ]-∞, 0[ et ]0, +∞[ où f' est la fonction dérivée de f (0,5 pt)

b) Pour tout x > 0 on pose \( g(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x} \)

A l'aide de l'étude de variation de la fonction g, trouver le signe de g(x) puis de f'(x) sur l'intervalle ]0, +∞[ (0,75 pt)

6. Dresser le tableau de variation de f (0,75 pt)

7. Tracer (C) en précisant les demi-tangentes au point d'abscisse x₀ = 0 (1 pt)

Partie B

Soit (Uₙ) la suite définie par : ∀n ∈ ℕ* Uₙ = \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} \). Soit φₙ la fonction définie sur ]0, +∞[ par :

\[ \varphi_n(x) = \ln[1 + (n+1)x] - (n+2)\ln x \quad \text{où } n \in \mathbb{N}^* \]

1. a) Montrer que φₙ admet un minimum dont on déterminera sa valeur en fonction de n (0,75 pt)

b) En déduire que ∀n ∈ ℕ* ∀x ∈ ℝ₊*\{1\} \( \left[\frac{1+(n+1)x}{n+2}\right]^{n+2} > x^{n+1} \) (1) (1 pt)

2. A l'aide de l'inégalité (1) déterminer le sens de variation de la suite (Uₙ) (0,75 pt)

(on pourra poser x = \( \frac{n}{n+1} \) où n ∈ ℕ*)

3. a) Pour tout n ∈ ℕ*, établir l'inégalité \( \frac{1}{n+1} \leq \int_{n}^{1} \frac{1}{t} dt \) et montrer que ∀n ∈ ℕ*, Uₙ ≥ e (0,25 pt + 0,5 pt)

b) Déduire des résultats des questions précédentes, l'étude de convergence de la suite (Uₙ) (0,25 pt)

4. Calculer \( \lim_{n \to +\infty} U_n \) (0,5 pt)

I) Arithmétique

Soient \( n \) un entier naturel, \( a \) et \( b \) deux entiers relatifs premiers entre eux.

1- Montrer que les deux entiers \( 2n+3 \) et \( n+1 \) sont premiers entre eux. (0,5 pt)

2- a) Montrer que \( \text{pgcd}(a, a+b) = \text{pgcd}(b, a+b) = 1 \). (0,5 pt)

b) En déduire que \( a + b \) et \( ab \) sont premiers entre eux (on pourra utiliser le théorème de Bezout). (0,75 pt)

3- Montrer que la fraction rationnelle \( \frac{3n+4}{(n+1)(2n+3)} \) est irréductible. (0,25 pt)

II) Probabilité

On dispose de 5 trous alignés numérotés de 1 à 5 et 5 billes numérotées de 1 à 5. On lance les 5 billes vers les 5 trous ; chaque bille entre alors dans un trou et chaque trou peut recevoir 0 à 5 billes. On admet que tous les événements élémentaires sont équiprobables.

1- Calculer le nombre de dispositions possibles de répartition des 5 billes dans les 5 trous. (0,5 pt)

2- Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « Toutes les 5 billes se trouvent dans un même trou ». (0,5 pt)

B : « La bille numéro 1 se trouve dans un trou de numéro pair ». (0,5 pt)

C : « Chaque trou contient exactement une bille ». (0,5 pt)

Dans le plan orienté \( P \), on considère le triangle direct \( OAB \) isocèle et rectangle en \( O \). On désigne par \( C \) le point du plan \( P \) tel que \( BAC \) soit un triangle direct rectangle en \( B \) et \( AC = 2AB \). Soient \( I \) et \( K \), les milieux respectifs des segments \( [AB] \) et \( [OA] \).

Soient :

• \( r \) : la rotation de centre \( O \) qui transforme \( A \) en \( B \).
• \( t \) : la translation de vecteur \( \overrightarrow{OA} \).
• \( s \) : la similitude plane directe de centre \( A \) qui transforme le point \( B \) en \( C \).

On pose \( f = t \circ r \)

A)

1- Tracer les deux triangles \( OAB \) et \( BAC \), et placer les deux points \( I \) et \( K \), (pour la construction seulement, prendre \( OA = 3cm \)). (0,5 pt)

2- Déterminer et construire le barycentre \( G \) des points \( A, B, C \) affectés des coefficients respectifs \( 1, -1, 1 \). (0,75 pt)

3- Déterminer et construire dans la figure précédente l'ensemble \( \mathcal{E} \) des points \( M \) tels que
\[ MA^2 - MB^2 + MC^2 = AB^2. \] (0,75 pt)

B)

1- Déterminer l'angle de \( r \). (0,25 pt)

2- a) Donner la nature de \( f \). (0,25 pt)

b) Décomposer respectivement la rotation \( r \) et la translation \( t \) en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies. (1 pt)

c) Caractériser \( f \). (0,5 pt)

3- Déterminer le rapport de \( s \) et donner une mesure en radian de l'angle de \( s \). (0,5 pt)

C)

Le plan est rapporté au repère \( (O, \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) \).

1- Donner les affixes des points \( A, B \) et \( I \). (0,5 pt)

2- a) Déterminer les expressions complexes de \( r \) et \( t \). (0,5 pt)

b) En déduire l'expression complexe et les éléments caractéristiques de \( f \). (0,5 pt)

3- En admettant que \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = -\frac{\pi}{3} \), déterminer l'expression complexe de \( s \) et l'affixe du point \( C \). (1 pt)

Partie A

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ \begin{aligned} &f(x) = (1-x)e^{2x} \quad \text{si } x \in ]-\infty; 1] \\ &f(x) = x - 1 + \ln\left(\frac{2x}{x+1}\right) \quad \text{si } x \in [1;+\infty[ \end{aligned} \]

On désigne par \( \mathcal{C} \) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) d'unité 2 cm.

1- Montrer que \( f \) est continue en \( x_0 = 1 \). (0,5 pt)

2- Étudier la dérivabilité à gauche de \( f \) en \( x_0 = 1 \). (0,25 pt)

3- a) Calculer \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x+1) - \ln 2}{x-1} \) (on pourra poser \( x = 2t+1 \)). (0,5 pt)

b) Vérifier que pour tout \( x > 1 \)
\[ \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = 1 + \frac{\ln x}{x-1} - \frac{\ln(x+1) - \ln 2}{x-1}. \]

c) Étudier la dérivabilité à droite de \( f \) en \( x_0 = 1 \). \( f \) est-elle dérivable en \( x_0 = 1 \) ? (0,75 pt)

4- a) Calculer les limites de \( f \) aux bornes de son ensemble de définition. (0,5 pt)

b) Montrer que \( \mathcal{C} \) admet une asymptote oblique \( D \) dont on déterminera l'équation.
Étudier la position de \( \mathcal{C} \) par rapport à \( D \) dans l'intervalle \( [1, +\infty[ \). (0,75 pt)

5- Étudier la variation de \( f \). (0,75 pt)

6- Tracer \( \mathcal{C} \) en précisant les demi-tangentes au point d'abscisse \( x_0 = 1 \). (1,25 pt)

Partie B

On considère la suite \( (I_n) \) définie par :

\[ I_0 = \int_0^1 x e^x dx \]

et

\[ \forall n \in \mathbb{N}^* \quad I_n = \int_0^1 x e^x (1-e^{-2x})^n dx \]

1- Calculer l'intégrale \( I = \int_0^1 x e^{3x} dx \). (0,5 pt)

2- Soit \( (K_n) \) la suite définie par \( \forall n \in \mathbb{N}^* \quad K_n = \int_0^1 x e^{3x} (1-e^{-2x})^n dx \).

a) Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N}^* \quad 0 \leq K_n \leq \frac{e^3}{2} \left( 1 - \frac{1}{e^2} \right)^n \). (1 pt)

b) Déterminer \( \lim_{n \to +\infty} K_n \). (0,5 pt)

3- Pour tout entier naturel \( n \geq 2 \), on pose \( T_n = I_0 + I_1 + \ldots + I_{n-1} \).

a) Démontrer que \( T_n = I - K_n \). (1 pt)

b) En déduire l'étude de convergence de la suite \( (T_n) \). (0,25 pt)

I) Arithmétique

1. Dresser les tables d'addition et de multiplication dans Z/17Z. (0,25 + 0,25 pt)

2. Résoudre dans Z/17Z × Z/17Z le système :

\[ \begin{cases} x + y = 1 \\ 6x - y = 6 \end{cases} \] (0,5 pt)

3. Montrer que pour tout entier naturel n, le nombre \(10^{6n} + 10^{3n} - 2\) est divisible par 11. (0,5 pt)

II) Probabilité

On dispose d'un dé cubique pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par p_i la probabilité d'obtenir le nombre i après un lancer et on admet que p₁ = p₃ = p₅, p₄ = p₆ = p₁, et p₂ = 2p₁.

1. On lance une fois ce dé

a. Calculer les probabilités p_i avec i ∈ {1,2,3,4,5,6}. (0,75 pt)

b. Montrer que la probabilité d'obtenir un nombre impair est P = 1/3. (0,5 pt)

2. On lance le dé n fois de suite et d'une manière indépendante, où n ∈ N*

a. Calculer en fonction de n la probabilité P(E_n) de l'événement E_n : "obtenir au moins un nombre pair". (0,5 pt)

b. Calculer \(\lim_{n \to +\infty} P(E_n)\). (0,25 pt)

c. Déterminer l'entier naturel n₀ tel que P(E_n) = 999/1000. (0,5 pt)

Partie A

Dans l'ensemble C des nombres complexes, on considère le polynôme P défini par :

\[P(z) = z^4 + 3z^2 - 6z + 10\]

1. Montrer que si un nombre complexe z₀ est une solution de l'équation P(z) = 0 alors \(\overline{z_0}\) est aussi solution. (0,75 pt)

2. a) Calculer \((1+i)^2\), \((1+i)^4\) et \(P(1+i)\). (0,5 pt)

b) En déduire deux solutions de l'équation P(z) = 0. (0,25 pt)

3. a) Trouver le polynôme Q(z) tel que P(z) = (z² - 2z + 2)Q(z). (0,5 pt)

b) Achever la résolution dans C de l'équation P(z) = 0. (0,5 pt)

Partie B

Dans le plan orienté (P), on considère le carré direct ABDC. On désigne par E le point symétrique de B par rapport à A et par F le point symétrique de D par rapport à B. Soient s₁ la symétrie orthogonale d'axe (AB), et s₂ la symétrie orthogonale d'axe (BC). Soit r la rotation qui transforme B en C et C en E.

On pose f = s₂ ∘ s₁ et g = t_AB ∘ s₁ où t_AB est la translation de vecteur AB.

I.

1. a) Tracer le carré ABDC et placer les points E et F (prendre AB = 4cm). (0,5 pt)

b) Déterminer l'image de C par g. (0,25 pt)

2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de f. (0,25 + 0,25 pt)

3. a) Montrer que r est la rotation de centre A et d'angle π/2. (0,5 pt)

b) Quelle est la nature de T = f ∘ r ? (0,25 pt)

c) Décomposer r en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies et caractériser T = f ∘ r. (0,5 + 0,25 pt)

II. Le plan (P) est muni du repère orthonormé direct (A, AB, AC).

1. Donner les affixes respectives des points A, B, C, D, E et F. (0,5 pt)

2. a) Déterminer les expressions complexes de r, s₁ et s₂. (3 × 0,25 pt)

b) En déduire les expressions complexes de f et T. (0,25 + 0,25 pt)

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par :

\[ \begin{cases} f(x) = (x+1)e^{-2x} - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ f(x) = \frac{x}{x - \ln x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

On désigne par C la courbe de f dans un plan muni d'un repère orthonormé (O,i,j) d'unité 2 cm.

I.

1. Montrer que f est continue en x₀ = 0. (0,5 pt)

2. a) Étudier la dérivabilité de f en x₀ = 0. (0,5 pt)

b) Interpréter géométriquement le résultat. (0,25 pt)

3. Calculer \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\). (0,25 + 0,25 pt)

4. a) Déterminer la fonction dérivée de f sur chacun des intervalles ]-∞,0] et [0,+∞[. (0,25 + 0,25 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f. (0,75 pt)

5. a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique α dans l'intervalle ]-∞,-1/2]. (0,5 pt)

b) Vérifier que α ∈ [-1,-3/4]. (0,25 pt)

6. a) Étudier les branches infinies de C. (0,25 pt)

b) Tracer C en précisant la tangente ou les demi-tangentes à l'origine. (1 pt)

II. Soit g la fonction définie sur [-1,-3/4] par g(x) = e^{2x} - 1.

1. En utilisant l'égalité f(α) = 0, démontrer que g(α) = α. (0,5 pt)

2. Montrer que pour tout x ∈ [-1,-3/4], on a g(x) ∈ [-1,-3/4] et |g'(x)| ≤ 1/2. (0,25 + 0,25 pt)

3. Soit (U_n)_n∈N la suite définie par :

\[ \begin{cases} U_0 = -1 \\ \forall n \in \mathbb{N}, U_{n+1} = g(U_n) \end{cases} \]

a) Montrer par récurrence que ∀n ∈ N, U_n ∈ [-1,-3/4]. (0,5 pt)

b) Montrer que ∀n ∈ N, |U_n+1 - α| ≤ (1/2)|U_n - α|. (0,5 pt)

c) Montrer que ∀n ∈ N, |U_n - α| ≤ (1/2)ⁿ|U₀ - α| et étudier la convergence de (U_n). (0,25 + 0,25 pt)

Partie B

Soient I et J, deux intégrales définies par :

\[I = \int_0^{\pi/2} e^{2x} \cos^2 x dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\pi/2} e^{2x} \sin^2 x dx\]

1. Calculer I + J. (0,5 pt)

2. À l'aide de deux intégrations par parties, calculer I - J. (0,5 pt)

3. En déduire les valeurs respectives des intégrales I et J. (0,5 pt)

I) Arithmétique

On considère les équations :
(E₀) : 39x - 17y = 1
(E) : 39x - 17y = 4

1° Justifier que l'équation (E₀) admet une solution dans ℤ×ℤ. (0,25 pt)

2° a. Par l'algorithme d'Euclide, trouver une solution particulière de (E₀). (0,5 pt)

b. En déduire une solution particulière de (E). (0,25 pt)

c. Achever la résolution dans ℤ×ℤ de l'équation (E). (0,5 pt)

II) Soit n un entier naturel

1° Montrer que si n est impair, alors 10ⁿ + 1 est divisible par 11. (0,5 pt)

2° Dans le cas n pair, donner le reste de la division euclidienne de 10ⁿ + 1 par 11. (0,25 pt)

III) Probabilité

Une roulette truquée comporte quatre secteurs numérotés 1, 2, 3 et 4. On a P_k = kα où α > 0.

1° Un joueur lance la roulette une fois

a. Déterminer le réel α et les probabilités P₁, P₂, P₃, P₄. (0,5 pt)

b. Soit A : "L'index pointe sur un secteur impair". Montrer que P(A) = 2/5. (0,25 pt)

2° Soit n un entier naturel non nul. Le joueur lance la roulette n fois.

a. Calculer q_n = probabilité d'obtenir au moins une fois un numéro pair. (0,5 pt)

b. Déterminer le plus petit entier n tel que q_n ≥ 0,99. (0,5 pt)

Dans un plan orienté (P), on considère le triangle direct ABC, isocèle et rectangle en A tel que AB = 3cm.

On désigne par :

• (D) la droite passant par B et perpendiculaire à (BC)
• r_A la rotation de centre A, d'angle π/2
• r_B la rotation de centre B, d'angle -π/2
• h l'homothétie de centre B, de rapport 1/2
• δ_D la symétrie orthogonale d'axe (D)
• δ_AB la symétrie orthogonale d'axe (AB)

Partie A

1° Construire le triangle ABC et tracer la droite (D). (0,5 pt)

2° Déterminer et construire le barycentre G des points A, B, C affectés des coefficients -1, 1, 1. (0,75 pt)

3° a. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel k l'existence et la nature de l'ensemble (ε_k) des points M tels que -MA² + MB² + MC² = 18 - k². (0,75 pt)

b. Construire l'ensemble (ε₃). (0,25 pt)

Partie B

Soit f = r_A ∘ r_B

1° a. Donner la nature de f. (0,25 pt)

b. Déterminer l'image de B par f. Caractériser f. (0,5 pt)

2° On pose δ = f ∘ δ_D. Montrer que δ est une symétrie orthogonale et déterminer son axe. (0,75 pt)

3° Soit T = h ∘ δ_AB

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T. (0,5 pt)

b. Placer le point E image de C par T. (0,25 pt)

Partie C

Le plan est rapporté au repère (A; AB, AC)

1° Donner les affixes des points A, B, C, G. (0,5 pt)

2° a. Déterminer l'expression complexe de r_A, r_B, f et δ_AB. (1 pt)

b. En déduire l'expression complexe de g = f ∘ δ_AB. (0,25 pt)

c. Donner la nature et les éléments caractéristiques de g. (0,25 pt)

Soit f la fonction définie sur ]-∞;1[ par :

\[ \begin{cases} f(x) = (x-1)^2 e^x - 1 & \text{si } x \in ]-\infty;0] \\ f(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) & \text{si } x \in ]0;1[ \end{cases} \]

On désigne par (C) la courbe de f dans un repère orthonormé (O;i,j) d'unité 2cm.

Partie A

1° Montrer que f est continue en x₀ = 0. (0,5 pt)

2° a. Étudier la dérivabilité de f en x₀ = 0. (0,5 pt)

b. Donner une interprétation géométrique. (0,25 pt)

3° a. Déterminer f'(x) sur ]-∞;0[ et ]0;1[. (0,5 pt)

b. Dresser le tableau de variation de f. (0,75 pt)

4° Montrer que f(x) = 0 admet une solution unique α ∈ ]-∞;-1[ et que α ∈ ]-2,7;-2,4[. (0,5 pt)

5° Tracer (C) en précisant les tangentes à l'origine. (1 pt)

Partie B

Pour x ∈ ]0;1/2], on considère I_n(x) = ∫₀ˣ t²ⁿ/(1-t²) dt, avec I₀(x) = ∫₀ˣ dt/(1-t²)

On pose g(x) = ½ ln((1+x)/(1-x))

1° Montrer que I₀(x) = g(x). (0,25 pt)

2° a. Montrer que pour t ∈ [0;1/2], 0 ≤ 1/(1-t²) ≤ 4/3. (0,25 pt)

b. En déduire que 0 ≤ I_n(x) ≤ 4x²ⁿ⁺¹/[3(2n+1)]. (0,5 pt)

c. Calculer lim_n→∞ I_n(x). (0,25 pt)

3° a. Exprimer I₀(x) - I₁(x) en fonction de x. (0,25 pt)

b. Exprimer I_n(x) - I_n+1(x) en fonction de x et n. (0,5 pt)

c. En déduire que g(x) = P_n(x) + I_n+1(x) où P_n est un polynôme. (0,5 pt)

4° Soit (S_n) la suite définie par :
S_n = 1/(1×2¹) + 1/(3×2³) + 1/(5×2⁵) + ... + 1/((2n+1)×2²ⁿ⁺¹)

Montrer que (S_n) converge vers (ln 3)/2. (0,75 pt)

I) Arithmétique

1) Soit l'entier naturel \( A = 3 \times 5^{2n-1} + 2^{3n-2} \) avec \( n \geq 1 \).

a) Montrer que \( 20 \times A \) est divisible par 17. (0,5 pt)

b) En déduire que \( A \) est divisible par 17. (0,25 pt)

2) Un entier naturel \( B \) s'écrit \( 3122 \) en base 4 et \( 431 \) en base \( n \). Déterminer l'entier naturel \( n \). (0,5 pt)

3) Calculer les entiers naturels non nuls a et b vérifiant :

\[a^2 - b^2 = 2\,916 \quad \text{et} \quad \text{PGCD}(a; b) = 18.\] (0,75 pt)

II) Probabilité

Une urne contient \( 2n \) jetons rouges et \( (n+3) \) jetons noirs, \( n \in \mathbb{N}^* \).

1) On tire au hasard successivement et sans remise trois jetons de l'urne

a) Exprimer en fonction de \( n \) la probabilité P(A) de l'événement
A : "On obtient un jeton rouge au premier tirage". (0,25 pt)

b) Calculer \( \lim_{n \to +\infty} P(A) \). (0,25 pt)

2) On tire au hasard successivement et avec remise trois jetons de l'urne.

a) Exprimer en fonction de \( n \) la probabilité P(B) de l'événement
B : "On obtient un jeton noir au premier tirage". (0,25 pt)

b) Calculer \( \lim_{n \to +\infty} P(B) \). (0,25 pt)

Dans le plan orienté \( P \), on considère le triangle ABC rectangle en \( A \) tel que \( BC = 2AB = 4cm \) et \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{2} \).

Soit \( S \) la similitude plane directe qui laisse invariant le point \( B \) et transforme le point \( A \) en \( C \).

I –

1) Construire en vraie grandeur le triangle ABC. (0,5 pt)

2) a) Soit \( G \) le barycentre du système \( \{(A,-1),(B,1),(C,1)\} \). Placer le point \( G \). (0,5 pt)

b) Déterminer puis construire l'ensemble \( (E_1) = \{ M \in P / -MA^2 + MB^2 + MC^2 = 4 \} \). (0,5 pt + 0,25 pt)

c) Démontrer que, pour tout point \( M \) du plan \( P \), \( -2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \) est un vecteur constant. (0,5 pt)

d) Déterminer puis construire l'ensemble \( (E_2) = \{ M \in P / (-2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) \cdot (-\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) = 0 \} \). (0,5 pt + 0,25 pt)

II –

1) Déterminer le rapport et l'angle de \( S \). (0,5 pt)

2) Soient \( M \) le point du demi-cercle de diamètre \( [BC] \) ne contenant pas \( A \) et \( M' \) le point tel que \( BM' = 2BM \) et que \( C \), \( M \) et \( M' \) soient alignés dans cet ordre.

a) Placer les points \( M \) et \( M' \). (0,25 pt)

b) Montrer que \( S(M) = M' \). (0,5 pt)

III –

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \( (A; \vec{u}; \vec{v}) \) avec \( \vec{u} = \frac{\overrightarrow{AB}}{2} \).

a) Donner les affixes des points \( B \), \( C \) et \( G \). (0,75 pt)

b) Déterminer l'expression complexe de \( S \). (0,5 pt)

c) En déduire les éléments caractéristiques de \( S \). (0,5 pt)

2) Soit \( T \) la transformation du plan définie par \( z' = (-1 + i\sqrt{3})z - 2 - 2i\sqrt{3} \).

a) Quelle est la nature de \( T \) ? (0,25 pt)

b) Déterminer les éléments caractéristiques de \( T \). (1 pt)

On considère la fonction numérique \( f \) définie sur \([0; +\infty[\) par :

\[ \begin{cases} f(x) = \frac{x}{\ln(x+1)} & \text{si } x \in ]0; +\infty[ \\ f(0) = 1 \end{cases} \]

Partie A

1) Soit \( g \) la fonction définie sur \([0; +\infty[\) par \( g(x) = \frac{x}{x+1} - \ln(x+1) \)

a) Étudier la variation de \( g \). (0,5 pt)

b) En déduire le signe de \( g(x) \) pour tout \( x > 0 \). (0,25 pt)

2) Soit \( h \) la fonction définie sur \([0; +\infty[\) par \( h(x) = \ln(x+1) - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \)

a) Étudier la variation de \( h \). (0,5 pt)

b) En déduire le signe de \( h(x) \) pour tout \( x \geq 0 \). (0,25 pt)

c) Montrer que pour tout \( x \geq 0 \), \( \ln(x+1) - x + \frac{x^2}{2} \geq 0 \). (0,5 pt)

d) En déduire que pour tout \( x > 0 \), \( -\frac{1}{2} \leq \frac{\ln(x+1) - x}{x^2} \leq -\frac{1}{2} + \frac{x}{3} \). (0,5 pt)

e) Calculer \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{x} \). (0,25 pt)

Partie B

1) Soit \( \varphi \) la fonction définie sur \([0; +\infty[\) par \( \varphi(x) = \frac{1}{f(x)} \)

Montrer que \( f \) et \( \varphi \) sont continues à droite en 0. (0,75 pt)

2) a) Exprimer \( \frac{f(x) - f(0)}{x} \) en fonction de \( x \), \( \varphi(x) \) et \( \varphi(0) \). (0,25 pt)

b) En déduire que \( \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{1}{2} \). (0,75 pt)

3) Calculer la limite de \( f \) en \( +\infty \). (0,5 pt)

4) a) Donner une relation entre \( f'(x) \) et \( g(x) \) pour tout \( x > 0 \). (0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de \( f \). (0,75 pt)

5) a) Étudier la branche infinie de la courbe \( (\mathcal{F}) \) en \( +\infty \). (0,5 pt)

b) Tracer la courbe \( (\mathcal{F}) \). (0,75 pt)

Partie C

1) Démontrer que, pour tout réel \( t \in [0; 1] \), on a \( 1 - t \leq \frac{1}{1+t} \leq 1 \). (0,5 pt)

2) En déduire que, pour tout \( x \in [0; 1] \), on a \( 1 \leq f(x) \leq \frac{2}{2-x} \). (0,5 pt)

3) Montrer alors que \( 1 \leq \int_0^1 f(x) dx \leq 2 \ln 2 \). (0,5 pt)

I) Arithmétique

1. a) Montrer que pour tout entier naturel \( x \) et \( y \), \( x + y \) et \( x - y \) ont la même parité. (0,5 pt)

b) En déduire la résolution dans \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) de l'équation : \( x^2 = y^2 + 8 \). (0,5 pt)

2. a) Résoudre dans \( \mathbb{N} \) l'équation : \( 5x \equiv 1 \pmod{3} \). (0,5 pt)

b) En déduire une solution particulière de l'équation : \( 5x - 3y = 1 \). (0,25 pt)

c) Résoudre dans \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) l'équation : \( 5x - 3y = 1 \). (0,25 pt)

II) Probabilité

Une urne contient 3 boules blanches et \( n \) boules noires (\( n \geq 3 \)).

1- On tire simultanément deux boules. Soit \( A_n \) : "obtenir au moins une boule noire".

a) Calculer \( P(A_n) \). (0,5 pt)

b) Calculer \( \lim_{n \to \infty} P(A_n) \). (0,25 pt)

c) Pour quelles valeurs de \( n \) a-t-on \( P(A_n) \leq 0,99 \) ? (0,5 pt)

2- On tire 3 boules avec remise. Soit \( B_n \) : "tirer 3 boules blanches".

a) Calculer \( P(B_n) \). (0,5 pt)

b) Déterminer \( n \) tel que \( P(B_n) = \frac{27}{1000} \). (0,25 pt)

Dans le plan orienté, on considère le triangle équilatéral ABC tel que \( (\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}) = \frac{\pi}{3} \) et AB = 4cm.

Soit \( I \) le projeté orthogonal de \( A \) sur \( [BC] \). La droite parallèle à \( (AI) \) passant par \( C \) coupe \( (AB) \) en \( \Omega \). Soit \( D \) la symétrique de \( B \) par rapport à \( C \).

Soient \( t \) la translation de vecteur \( \overrightarrow{BC} \) ; \( r \) la rotation de centre \( A \) d'angle \( \frac{\pi}{3} \) ; \( r_1 \) la rotation de centre \( B \) d'angle \( -\frac{\pi}{3} \) ; \( f = t \circ r \) et \( g = t \circ r_1 \).

Partie A

1- Faire la figure et placer les points A, B, C, D, I et Ω. (0,5 pt)

2- a) Décomposer \( t \) en deux symétries orthogonales dont l'un des axes est \( (AI) \). (0,5 pt)

b) Décomposer \( r \) en deux symétries orthogonales dont l'un des axes est \( (AB) \). (0,5 pt)

c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \( f \). (0,5 pt)

3- a) Déterminer \( g(B) \). (0,5 pt)

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de \( g \). (0,5 pt)

4- On note \( A' = f(A), B' = f(B), C' = f(C) \).

a) Placer les points A', B', C'. (0,5 pt)

b) Quelle est la nature du triangle A'B'C' ? (0,25 pt)

c) Montrer que Ω, A', B' sont alignés. (0,25 pt)

Partie B

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct \( (B, \vec{u}, \vec{v}) \) avec \( \vec{u} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BI} \) et \( \vec{v} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \overrightarrow{IA} \).

1. a) Exprimer \( \overrightarrow{BA} \) en fonction de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). (0,5 pt)

b) Déterminer les affixes de A, B, C. (3 × 0,25 pt)

2. a) Écrire les expressions complexes de \( t, r, r_1 \). (3 × 0,25 pt)

b) En déduire les expressions complexes de \( f \) et \( g \). (2 × 0,25 pt)

c) Déterminer leurs natures et éléments caractéristiques. (2 × 0,25 pt)

Partie A

Pour tout \( n > 0 \), soit \( f_n(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + x)^n} \) définie sur \( \mathbb{R} - \{-1\} \).

1) a) Calculer les limites de \( f_n \) aux bornes du domaine. (1 pt)

b) Calculer \( f'_n(x) \). (0,5 pt)

c) Dresser les tableaux de variations selon la parité de n. (1 pt)

2) Montrer que toutes les courbes \( (\mathcal{E}_n) \) passent par un point fixe. (0,25 pt)

3) Calculer \( \lim_{x \to -\infty} \frac{f_n(x)}{x} \). (0,25 pt)

4) a) Étudier la position relative de \( (\mathcal{E}_n) \) et \( (\mathcal{E}_{n+1}) \). (0,25 pt)

b) Tracer \( (\mathcal{E}_1) \) et \( (\mathcal{E}_2) \). (1 pt)

Partie B

Pour tout \( n > 0 \), soit \( I_n = \int_0^1 f_n(x) dx \).

1) Exprimer \( f'_n(x) \) en fonction de \( f_n(x) \) et \( f_{n+1}(x) \). (0,5 pt)

2) a) Montrer que \( (I_n) \) est décroissante. (0,5 pt)

b) En déduire que \( (I_n) \) converge. (0,5 pt)

3) a) Démontrer que \( \frac{e^{-1}}{(1 + x)^n} \leq f_n(x) \leq \frac{1}{(1 + x)^n} \). (0,25 pt)

b) En déduire l'encadrement de \( I_n \). (0,25 pt)

c) Calculer \( \lim_{n \to +\infty} I_n \). (0,25 pt)

4) a) Montrer que \( I_n + nI_{n+1} = 1 - \frac{e^{-1}}{2^n} \). (0,25 pt)

b) En déduire \( \lim_{n \to +\infty} nI_{n+1} \). (0,25 pt)

Partie C

Soit \( U_n = \int_0^1 x^n \ln(x + 1) dx \).

1) Étudier le signe de \( x^{n+1} - x^n \) sur [0;1]. (0,25 pt)

2) En déduire le sens de variation de \( (U_n) \). (0,5 pt)

3) La suite \( (U_n) \) est-elle convergente ? (0,5 pt)

4) Démontrer que \( 0 \leq U_n \leq \frac{\ln 2}{n + 1} \). (0,5 pt)

5) En déduire \( \lim_{n \to +\infty} U_n \). (0,25 pt)

I) Arithmétique

1) Soit n un entier naturel non nul.

a) Montrer que 7ⁿ - 1 est divisible par 6. (0,5 pt)

b) En déduire que 7²ⁿ - 1 est divisible par 48. (0,5 pt)

2) Résoudre dans ℤ² l'équation : 7x - 5y = 3. (1 pt)

3) Déterminer tous les entiers naturels n tels que 7ⁿ ≡ 1 [5]. (0,5 pt)

II) Probabilité

Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues. On tire successivement et sans remise 3 boules.

1) Calculer la probabilité des événements :

a) A : "Obtenir 3 boules de couleurs différentes". (0,5 pt)

b) B : "Obtenir au moins une boule rouge". (0,5 pt)

2) On répète n fois cette expérience de manière indépendante.

Calculer la probabilité pₙ d'obtenir au moins une fois l'événement A. (0,5 pt)

3) Déterminer le plus petit entier n tel que pₙ ≥ 0,99. (0,5 pt)

Partie A : Géométrie dans le plan

Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A avec AB = AC = 4 cm.

Soit I le milieu de [BC] et J le symétrique de A par rapport à I.

On considère les transformations :

• r : rotation de centre A d'angle π/2

• t : translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

• f = t ∘ r

1) Construire la figure complète. (0,5 pt)

2) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f. (1 pt)

3) Déterminer f(B) et f(C). (0,5 pt)

Partie B : Utilisation des nombres complexes

ABCD est un carré de centre I ; \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \frac{\pi}{2} \) ; le milieu de [CD] est J.

Soit S une similitude directe qui transforme A en I et B en J. (𝒞₁) est un cercle de diamètre [AI] et (𝒞₂), un cercle de diamètre [BJ].

On donne le repère orthonormé direct (A ; \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\)).

1) Donner les affixes des points A, B, C, D, I, et J. (1 pt)

2) Écrire l'expression complexe de S. En déduire ses éléments caractéristiques. (1 pt)

3) a) Préciser les centres et les rayons des cercles (𝒞₁) et (𝒞₂). (0,5 pt)

b) Démontrer que le centre Ω de S est un point d'intersection de (𝒞₁) et (𝒞₂). (0,5 pt)

4) a) Déterminer le point C', image de C par S puis le point K, image de I par S. (0,5 pt)

b) Démontrer que les points A, Ω, K sont alignés. (0,5 pt)

Soit \( f \) une fonction numérique définie sur \( \mathbb{R} \) par:

\[f(x) = \begin{cases} (x-1)\ln(1-x), & \text{si } x < 0 \\ \frac{x}{e^2 - x - 1}, & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\]

On désigne par \( (\mathcal{F}) \) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.

Partie A

1°/ Étudier la continuité et la dérivabilité de \( f \) en \( x_0 = 0 \). (0,25 pt + 0,75 pt)

2°/ a) Calculer les limites de \( f \) en -∞ et en +∞. (0,25 pt × 2)

b) Étudier les variations de \( f \). (1 pt)

c) Démontrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( a \in [2, 3] \). (0,25 pt)

3°/ Tracer \( (\mathcal{F}) \) (On précisera les branches infinies et les demi-tangentes à l'origine du repère). (1,25 pt)

Partie B

On considère une fonction \( g \) définie sur \([-1, +\infty]\) par : \( g(x) = 2\ln(x+1) \).

1- Étudier les variations de \( g \). (0,5 pt)

2- Démontrer que \( a \) est une solution de l'équation : \( g(x) = x \). (1 pt)

3- Démontrer que pour tout \( x \in [2, +\infty]\), \( g(x) \in [2, +\infty] \). (0,5 pt)

4- On définit une suite \( (U_n)_{n \in \mathbb{N}} \) par :

\[\begin{cases} U_0 = 3 \\ U_{n+1} = g(U_n) \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. \end{cases}\]

a- Démontrer, par récurrence, que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( U_n \geq 2 \). (0,5 pt)

b- Prouver que pour tout \( x \in [2, +\infty]\), \( |g'(x)| \leq \frac{2}{3} \). (0,25 pt)

c- Démontrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( |U_{n+1} - a| \leq \frac{2}{3} |U_n - a| \). (0,25 pt)

d- Démontrer que la suite \( (U_n) \) converge vers \( a \). Déterminer le plus petit entier naturel \( n_0 \) tel que \( U_{n_0} \) soit une valeur approchée de \( a \) à \( 10^{-1} \) près. (0,25 pt + 0,25 pt)

Partie C

Soit l'équation différentielle (E) : \( 2y' - y = x - 1 \).

1) Démontrer que \( f(x) = e^2 - x - 1 \) est une solution de (E). (0,5 pt)

2) En déduire la solution générale de l'équation (E). (0,25 pt + 0,25 pt)

I) Arithmétique

1) Résoudre dans ℤ/7ℤ l'équation : 6x + 2 = -3 (0,5 pt)

2) Soient a et b deux entiers relatifs premiers entre eux.

Démontrer que A = 5a + 3b et B = 8a + 5b sont aussi premiers entre eux. (0,5 pt)

3) Soit x ∈ ℕ. Dans un système de numération à base 13, un entier naturel M s'écrit M = (25x3)₁₃.

a) Justifier que : M ≡ x + 2 [4] (0,25 pt)

b) Pour quelles valeurs de x, M est-il divisible par 4 ? (0,25 pt)

II) Probabilité

1) On lance une fois un dé tétraédrique parfait à quatre faces numérotées 2, 3, 4, 5.

Calculer la probabilité de chacun des événements :

A : "La face cachée porte un numéro ≤ 4" (0,25 pt)

B : "La somme des numéros des faces visibles est un nombre premier" (0,25 pt)

2) On lance n fois de suite (n ≥ 2) le dé et on note Pₙ la probabilité de réaliser au moins une fois l'événement A.

a) Calculer P₃ (0,5 pt)

b) Donner le plus petit entier n pour que Pₙ ≥ 0,99 (0,5 pt)

ABCDEF est un hexagone régulier de centre O, de côté a > 0 dans un plan orienté (P).

(AB; AF) = 2π/3 [2π]. On note I le milieu de [AF].

Partie A

Soit S le système {(A;1), (B;-1), (D;1)}

1) Déterminer et construire le barycentre G de S. (0,5 pt)

a) Déterminer et construire l'ensemble (Γ) = {M ∈ P / MA² - MB² + MD² = a²} (0,75 pt)

b) Vérifier que (Γ) passe par le centre O de l'hexagone. (0,25 pt)

Partie B

Soit R₀ la rotation de centre O d'angle π/3 et Rₐ la rotation de centre A d'angle 2π/3.

On considère φ = Rₐ ∘ R₀

1ère méthode :

a) Justifier que φ est une symétrie centrale. (0,5 pt)

b) Déterminer φ(A) et en déduire le centre de φ. (0,75 pt)

2ème méthode :

Le plan complexe est rapporté à (O; u, v) avec u = OA.

a) Donner les affixes de A, F et I. (0,75 pt)

b) Écrire les expressions complexes de Rₐ, R₀ et φ. (0,75 pt)

c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de φ. (0,5 pt)

Partie C

1) Soit g = R₀ ∘ R₀

a) Déterminer g(A) (0,25 pt)

b) Déterminer l'écriture complexe de g (0,25 pt)

c) En déduire les affixes de C et E (0,5 pt)

2) Soit S la similitude plane indirecte qui transforme O en C et A en E.

Donner l'écriture complexe de S et ses éléments caractéristiques. (1 pt)

Partie A

On considère l'équation différentielle : (E) : y'' + 2y' - 3y = P(x) où P est un polynôme.

1) Trouver P pour que g(x) = e² + x + 1 soit solution de (E). (0,5 pt)

Résoudre (E') : y'' + 2y' - 3y = 0 (0,5 pt)

Donner l'ensemble des solutions de (E) et la solution vérifiant h(0)=1, h'(0)=5. (1 pt)

Partie B

Soit f définie sur [0;+∞[ par :

\[f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln x}{x + 1} & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}\]

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. (0,75 pt)

Soit φ(x) = -ln x - x - 1

a) Étudier les variations de φ (0,5 pt)

b) Montrer que φ(x)=0 admet une unique solution β ∈ [0,27;0,28] (0,5 pt)

c) En déduire le signe de φ(x) et montrer que f(β) = -β (0,5 pt)

2) a) Calculer la dérivée f'(x) pour x > 0 (0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f (0,75 pt)

3) a) Étudier les branches infinies de f (0,5 pt)

b) Tracer la courbe (ε) (0,75 pt)

4) Montrer que f admet une bijection réciproque définie sur un intervalle à préciser (0,5 pt)

5) Soit I = ∫₀¹ f(x) dx. Montrer que 0 ≤ I ≤ 1/4 (0,5 pt)

Partie A - Probabilité

Dans un concours de tir, la cible circulaire se divise en trois zones: A, B et C.

Chaque tir atteint nécessairement l'une des trois zones A, B, et C.

P_A, P_B et P_C sont respectivement les probabilités d'atteindre les zones A, B et C.

Sachant que \( P_C = \frac{1}{6} \) et \( P_A \), \( P_B \), \( P_C \) forment une progression arithmétique.

1°) Calculer \( P_A \) et \( P_B \). (0,5 pt)

2°) On effectue quatre tirs indépendants. Calculer la probabilité d'atteindre au moins une fois la zone C. (0,5 pt)

3°) Un joueur tire jusqu'à ce que la zone C soit atteinte.

Calculer la probabilité de l'événement E: "Le jeu s'arrête au 3ème tir". (0,5 pt)

4°) Soit \( n \in \mathbb{N}^* \), et \( P_n \) la probabilité pour que le jeu s'arrête au nème tir.

Écrire \( P_n \) en fonction de \( n \). Calculer \( \lim_{n \to +\infty} P_n \). (0,5 pt)

Partie B - Arithmétique

1) Soit x et y deux entiers naturels.

Démontrer que : \( (x + 6y)^2 - x^2 \) est divisible par 12 et que \( (x + 6y)^4 - x^4 \) est divisible par 24. (1 pt)

2) Résoudre dans \( \mathbb{Z} : 3x \equiv 2 \pmod{7} \). (0,5 pt)

3) Déterminer la base b du système de numération dans lequel : \( (12)_b \times (22)_b = (314)_b \). (0,5 pt)

On considère un triangle quelconque AOB. AOB est un triangle direct isocèle et rectangle en O.

BAC est un triangle direct isocèle et rectangle en C.

OBD est un triangle direct isocèle et rectangle en D.

On se propose de démontrer que les droites (OC) et (ED) sont perpendiculaires et que OC = ED.

PARTIE I : Méthode 1 - Utilisation des transformations

On note :

• S₁ la similitude plane directe de centre A qui transforme C en B.

• S₂ la similitude plane directe de centre O qui transforme B en D.

• f = S₂ ∘ S₁

1) a) Déterminer le rapport et l'angle de S₁ et S₂. (1 pt)

b) Prouver que f est une rotation dont on précisera l'angle. (0,5 pt)

2) Déterminer l'image de I par S₁ et celle de E par S₂. (0,5 pt)

En déduire que I est invariant par f. (0,25 pt)

3) On appelle R la rotation de centre I et d'angle θ = π/2.

a) Déterminer R(O) et R(C) (0,75 pt)

b) En déduire que (OC) et (ED) sont perpendiculaires et que OC = ED. (0,5 pt)

PARTIE II : Méthode 2 - Utilisation des nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u, v) avec u = OI.

On note b l'affixe de B.

1) Calculer en fonction de b l'affixe de C et l'affixe de D. (1 pt)

2) Calculer l'affixe z_E de E. (0,5 pt)

3) a) Démontrer que \( \frac{z_D - z_E}{z_C - z_O} = i \). (1 pt)

b) En déduire que (OC) et (ED) sont perpendiculaires et que OC = ED. (1 pt)

On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par :

\[f(x) = \begin{cases} (1 - x)e^x & \text{si } x < 1 \\ x - 1 + \ln\frac{2x}{x + 1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\]

Partie I

1) Prouver que f est continue en x₀ = 1. (0,5 pt)

2) a) Démontrer que f est dérivable à droite en 1 et que f'_d(1) = 3/2. (0,5 pt)

b) Étudier la dérivabilité à gauche de f en x₀ = 1. (0,5 pt)

3) Calculer \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \). (0,5 pt)

4) a) Étudier le sens de variation de f sur son domaine de définition. (1 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f. (0,5 pt)

5) On pose φ(x) = f(x) - x + 1 - ln 2.

Calculer \( \lim_{x \to +\infty} φ(x) \). Que signifie ce résultat pour la courbe (C) ? (0,75 pt)

6) Tracer les demi-tangentes au point d'abscisse x₀ = 1, l'asymptote et la courbe (C). (1 pt)

Partie II

1) On considère l'équation différentielle (E): y'' - y = (-2x + 1)eˣ

Soit g une solution de (E), démontrer que φ(x) = e⁻ˣg(x) vérifie φ'(x) = -2x + 1.

En déduire la solution de (E) qui prend la valeur 1 en x = 0. (1,25 pt)

2) Résoudre dans [0; 2π] l'équation \( \sqrt{3} \cos x + \sin x - \sqrt{2} = 0 \). (0,5 pt)

3) Soit la suite numérique (Iₙ)_n∈ℕ* définie par :

\[I_n = \frac{1}{n!} \int_0^1 (1-x)^n e^x dx\]

a) Calculer I₁. Interpréter géométriquement ce résultat. (0,5 pt)

b) Trouver une relation de récurrence entre Iₙ₊₁ et Iₙ. (1 pt)

c) Démontrer que pour tout n ∈ ℕ* : \( I_n = e - 1 - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} \). (1 pt)

d) Démontrer que pour tout n ∈ ℕ* : \( \frac{1}{(n+1)!} \leq I_n \leq \frac{e}{(n+1)!} \). (0,5 pt)

e) En déduire \( \lim_{n \to +\infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} \right) \). (0,25 pt)

Partie A - Arithmétique

1) Un nombre A s'écrit 121 en base 4 et 221 en base \( n \), \( n \in \mathbb{N}^* \). Déterminer \( n \). (0,25 pt)

2) Prouver que, pour tout entier naturel \( n \), \( 2^{8n+1} + 9^{n+1} \equiv 0 \ [11] \). (0,5 pt)

3) Résoudre dans \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) le système \[ \begin{cases} PGCD (a; b) = 6 \\ PPCM (a; b) = 240 \end{cases} \] (0,75 pt)

Partie B - Probabilité

\( n \in \mathbb{N}^* \). On dispose de \( n \) boules numérotées de 1 à \( n \). On veut placer ces boules dans \( n \) boîtes numérotées de 1 à \( n \); chaque boîte pouvant contenir de 0 à \( n \) boules.

1) Pour \( n = 4 \), calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

E : « Chaque boîte contient une boule ». (0,25 pt)

F : « Chaque boîte contient une boule de telle sorte que la boîte et la boule ont le même numéro ». (0,25 pt)

G : « La boîte numérotée 1 contient exactement deux boules ». (0,25 pt)

2) Pour \( n \geq 2 \), on désigne par \( P_n (k) \) la probabilité pour que la boîte numérotée 1 contienne exactement \( k \) boule(s), \( k \in \{0,1,2,...,n\} \).

a) Démontrer que, pour tout \( n \), \( P_n (k) = C_n^k \left( \frac{1}{n} \right)^k \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-k} \) (1 pt)

b) En déduire que : \[ \sum_{k=0}^{n} C_n^k (n-1)^{n-k} = n^n. \] (0,75 pt)

NB : Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe \( \mathcal{G} \), on considère le carré direct ABCD de centre I. Quels que soient les points M et N du plan, on note par :

\( t_M \) la rotation de centre M et d'angle \( \frac{\pi}{2} \).

\( t_{MN} \) la translation de vecteur MN.

\( C'_{(MN)} \) la réflexion d'axe (MN).

1) En décomposant \( t_A \) et \( t_B \), déterminer la nature et les éléments géométriques de \( t_B \circ t_A \). (0,5 pt)

2) Le plan \( \mathcal{P} \) est rapporté au repère orthonormal \( R = (A, U, V) \) où \( U = AB \) et \( V = AD \).

a) Déterminer la forme algébrique de \( a = \frac{Z_A - Z_C}{Z_B - Z_C} \). (0,25 pt)

b) En déduire l'angle et le rapport de la similitude plane directe de centre \( C \) qui transforme \( B \) en \( A \). (0,5 pt)

3) Soit \( f = \mathcal{S}_A^0 \circ t_A \circ t_{AC} \).

a) Démontrer que \( f \) est un antidéplacement. (0,75 pt)

b) En décomposant convenablement \( t_A \), préciser la nature et les éléments caractéristiques de \( f \). (0,75 pt)

c) En déduire l'expression complexe de \( f \). (0,75 pt)

Partie B

1) Étant donné un nombre réel \( \theta \).

Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l'équation à variable \( t : (E_\theta) : t^2 - 2t \cos \theta + 1 = 0 \). (0,75 pt)

En déduire les solutions dans \( \mathbb{C} \) de l'équation à variable complexe \( z : \left( \frac{E_\theta}{z} \right) : z^4 - 2z^2 \cos \theta + 1 = 0 \). (0,5 pt)

2) On désigne par \( A, B, C \) et \( D \) les images des solutions de l'équation \( \left( \frac{E_\theta}{z} \right) \) telles que :

\( Re(z_A) < 0 ; Im(z_B) < 0 \) avec \( z_B = -z_A ; z_D = \overline{z_A} \) et \( z_C = \overline{z_B} \) où \( z_A, z_B, z_C \) et \( z_D \) sont les affixes respectives des points A, B, C et D.

a) Placer les points \( A, B, C \) et \( D \) sur le cercle trigonométrique d'unité 3 cm. (0,5 pt)

b) Pour quelle valeur de \( \theta \) les points \( A, B, C \) et \( D \) sont-ils les sommets d'un carré ? (0,25 pt)

3) \( A, B, C \) et \( D \) étant les sommets du rectangle défini dans la question 2) a) et \( \lambda \) un réel tel que \( \lambda \in [-1; 1] \). On appelle \( G_{\lambda} \) le barycentre du système des points pondérés

\[S_{\lambda} = \{(A; \lambda^2 + 1); (B; \lambda); (D; -\lambda)\}.\]

a) Exprimer \( \overrightarrow{AG_{\lambda}} \) en fonction de \( \overrightarrow{BD} \). (0,5 pt)

b) On pose \( (E) = \{ M \in \mathcal{P} \text{ tel que } \|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MD}\| = \|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}\|\}. \)

Déterminer et construire \( (E) \). (1 pt)

Soit \( f \) la fonction définie sur l'intervalle \( ]0 ; +\infty[ \) par :

\[ \begin{cases} f(x) = x^2 - 1 - 2\ln x \quad \text{si } x \in ]0;1[ \\ f(x) = (3x - 3)e^{-x} \quad \text{si } x \geq 1 \end{cases} \]

On note par \( (C) \) sa courbe dans un repère orthonormé d'unité graphique 4 cm.

Partie A

1) a) Démontrer que \( f \) est continue au point d'abscisse 1. (0,5 pt)

b) Étudier la dérivabilité de \( f \) au point d'abscisse 1. (0,75 pt)

2) a) Étudier, suivant les valeurs de \( x \), le sens de variation de \( f \). (0,75 pt)

b) Dresser alors le tableau de variation de \( f \). (0,75 pt)

3) a) Démontrer que \( f \) admet un unique point d'inflexion I que l'on précisera. (0,75 pt)

b) Déterminer l'équation de la tangente \( (T) \) à \( (C) \) au point I. (0,75 pt)

c) Tracer \( (T) \) et \( (C) \) dans le même repère en précisant les demi-tangentes au point d'abscisse 1. (0,5 pt)

Partie B

Pour tout réel \( \lambda \) tel que \( 0 < \lambda < 1 \), on pose \( I(\lambda) = \int_{\lambda}^{1} f(t) dt \).

Quels que soient les entiers \( n \) et \( k \) tels que : \( n \geq 2 \) et \( 1 \leq k \leq n-1 \), on pose \( S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) \).

1) a) À l'aide d'une intégration par parties, déterminer \( I(\lambda) \) en fonction de \( \lambda \). (0,75 pt)

b) Calculer alors \( \lim_{\lambda \to 0} I(\lambda) \). (0,25 pt)

2) a) Démontrer que \( \frac{1}{n} f\left( \frac{k+1}{n} \right) \leq \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) dt \leq \frac{1}{n} f\left( \frac{k}{n} \right) \). (0,75 pt)

b) En déduire que \( \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) \leq \int_{\frac{1}{n}}^{1} f(t) dt \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) \). (0,5 pt)

c) Démontrer alors que \( I\left( \frac{1}{n} \right) \leq S_n \leq I\left( \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{n} f\left( \frac{1}{n} \right) \). (0,5 pt)

d) Déterminer \( \lim_{t \to 0} tf(t) \). (0,25 pt)

e) Calculer ainsi \( \lim_{n \to +\infty} S_n \). (0,5 pt)

NB : Pour la construction, on prend \( e^{-1} = 0.4 \); \( e^{-2} = 0.2 \) et \( e^{-3} = 0.05 \).

1 - On considère, dans Z × Z, l'équation définie par : (E) : 11x - 7y = 9.
On note par (x₀, y₀) la solution de cette équation.

a) Montrer que : 11×2 - 7×3 = 1 (0,5 pt)

b) En déduire une solution particulière de l'équation (E). (0,25 pt)

c) Résoudre dans Z × Z l'équation (E). (0,75 pt)

d) Trouver un couple (a, b) ∈ Z × Z vérifiant : 11a - 7b = 9 = PGCD(a; b). (0,5 pt)

2 - On dispose d'un dé cubique parfait à six faces numérotées 2, 3, 4 dont une face marquée 2, trois faces marquées 3 et deux faces marquées 4.
On lance trois fois de suite ce dé. On note chaque fois le numéro apparu à la face supérieure, en l'écrivant dans l'ordre de gauche à droite pour former un nombre entier naturel.
Calculer la probabilité de chaque événement suivant :

- A : « Le nombre formé ne contient que des chiffres premiers ». (0,5 pt)

- B : « Le chiffre 4 apparaît au moins une fois dans le nombre formé ». (0,5 pt)

- C : « Obtenir l'écriture du nombre 92 dans le système à base 5 ». (0,5 pt)

- D : « La somme des chiffres dans le nombre formé est 8 ». (0,5 pt)

NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

On considère dans le plan P un triangle rectangle et isocèle ABC tel que AB = AC = 2 (unité graphique : 2cm) et (AB)⊥(AC).
On désigne par G le milieu du segment [BC] et par O celui de [AC]. On met les points A et C sur une droite horizontale.

Partie I :

1- a) Déterminer et construire le barycentre F des points A, B et C affectés respectivement de 2, -1 et 1.
Montrer que ABGF est un parallélogramme. (0,25+0,5+0,25 pt)

b) Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M du plan P tel que :
||2MA - MB - MC|| = ||MA - 2MB + MC|| (0,75+0,25 pt)

2- On appelle J le symétrique de B par rapport à A et (D) la droite passant par J et parallèle à (AC).
Soit (Γ) l'ensemble des points M du plan P tel que, si H est le projeté orthogonal de M sur (D) alors l'équation de (Γ) est :
2MA² - MB² + MC² = MH² - 4 (1)

a) Montrer que (Γ) passe par A et C. (0,5 pt)

b) Calculer FA², FB² et FC². (0,5 pt)

c) Démontrer que l'équation (1) est équivalente à l'équation 2MF² = MH².
En déduire la nature de (Γ). (0,75+0,25 pt)

Partie II : Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct (O, i, j) tel que i = OC.

1- Déterminer respectivement les affixes z_C, z_J et z_F des points C, J et F. (0,5 pt)

2- On considère une similitude plane indirecte S qui, à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'.

a) Sachant que S transforme F en J et laisse invariant C, donner l'expression complexe de S. (0,5 pt)

b) En déduire les éléments caractéristiques de S. (0,75 pt)

3- a) Calculer les affixes des points A' = S(A) et B' = S(B). (0,5 pt)

b) Construire dans le même plan P, l'image par S du triangle ABC. (0,75 pt)

NB : Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

On considère la fonction f définie sur ℝ par :
f(x) = (1+x)e^-x si x ≤ 0
f(x) = 1 - x²ln(1 + 1/x) si x > 0

1- a) Étudier la continuité de f en x₀ = 0. (0,25 pt)

b) En admettant que lim_x→0 x²ln(1 + 1/x) = 0, étudier la dérivabilité de f en x₀ = 0. (0,25 pt)

2- Étudier les variations de f en dressant son tableau de variation. (1 pt)

3- Soit g la fonction définie sur [2; +∞[ par : g(x) = x - f(x).

a) Montrer que, pour tout x ∈ [2; +∞[, g'(x) > 0. (0,5 pt)

b) Prouver que x - 1 < f(x) < x, pour x > 0.
En déduire lim_x→+∞ g(x) (0,25+0,25 pt)

c) Déduire le tableau de variation de g. En déduire que l'équation f(x) = x admet une solution α et une seule, telle que 2 ≤ α ≤ 3. (0,25+0,5 pt)

4- Soit l'intervalle I = [2; 3].

a) Démontrer que, si x ∈ I alors f(x) ∈ I. (On pourra utiliser A-2). (0,5 pt)

b) Prouver que pour tout x ∈ I, on a : |f'(x)| ≤ 1/2.
En déduire que : |f(x) - α| ≤ |x - α|, pour x ∈ I. (0,5+0,25 pt)

5- Soit la suite (u_n) définie par :
u₀ = 2 et u_n+1 = f(u_n) pour tout n ∈ ℕ

a) Démontrer, par récurrence, que u_n ∈ I, pour tout n ∈ ℕ. (0,25 pt)

b) Montrer que, pour tout n, |u_n+1 - α| ≤ |u_n - α| et |u_n - α| ≤ (1/2)ⁿ. (0,25+0,25 pt)

c) En déduire que la suite (u_n) converge vers le nombre réel α. (0,25 pt)

d) Déterminer n₀ pour que u_n₀ soit une valeur approchée de α à 0,1 près.
Calculer u_n₀. (0,25+0,25 pt)

6- On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) d'unité : 2cm.

a) Étudier les branches infinies de (C) (0,25 pt)

b) Tracer (C) et la droite (D) : y = x, en précisant et les demi-tangentes à (C) en x₀ = 0. (0,75 pt)

Partie B :

On considère l'équation différentielle : (E₁) : y' - y = xe^x.

1- Résoudre l'équation différentielle (E₂) : y' - y = 0. (0,5 pt)

2- Soient a et b deux réels et u la fonction définie sur ℝ par : u(x) = (ax + b)e^x.

a) Déterminer a et b pour que u soit solution de (E₁). (0,25 pt)

b) φ étant une fonction dérivable sur ℝ. Montrer que (φ + u) est une solution de (E₁) si et seulement si φ est une solution de (E₂). (0,5 pt)

c) En déduire l'ensemble des solutions de (E₁). (0,25 pt)

3- Déterminer la solution de (E₁) qui s'annule en 0. (0,5 pt)

On donne : e ≈ 2,718; ln2 ≈ 0,693; ln3 ≈ 1,099

Partie A - Probabilité

On dispose d'un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées : 0, 1, 1, 2, 2 et 2.

1- On lance une fois ce dé. Calculer les probabilités P₀, P₁, P₂ d'apparition respective des faces numérotées 0, 1, 2. (0,25 pt × 3)

2- Une épreuve consiste à lancer trois fois de suite ce dé et d'une manière indépendante.
On note chaque fois le numéro obtenu sur la face supérieure de ce dé.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « La somme des numéros obtenus est égale à 4 ». (0,25 pt)

B : « Obtenir exactement deux fois le numéro 1 ». (0,5 pt)

C : « Obtenir chacun des trois numéros différents lors des 3 lancers ». (0,5 pt)

NB : on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible

Partie B - Arithmétique

1- a) Convertir dans la base 10 l'entier a écrit dans le système binaire : a = (110101)₂ (0,25 pt)

b) Convertir dans le système binaire l'entier naturel b = 54 de la base 10. (0,25 pt)

2- a) Dresser la table d'addition et de multiplication de Z/5Z. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Résoudre dans Z/5Z × Z/5Z le système : \[ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases} \] (0,5 pt)

c) Résoudre l'équation : 2x² + 3x + 1 = 0 dans Z/5Z. (0,5 pt)

ABEC est un losange de centre O dans un plan orienté (P) tel que AB = AC = BC = 4 cm et (AB, AC) = π/3.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

1- Reproduire cette figure en vraie grandeur. (0,5 pt)

2- a) On considère le système de points pondérés J = {(A,2), (B,1), (C,-1)}.
Montrer que ce système admet un barycentre G et que G est le milieu du segment [OA]. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Montrer que le vecteur 2MA + MB - MC où M est un point variable, est un vecteur constant que l'on déterminera. (0,5 pt)

c) Déterminer et représenter l'ensemble (D) des points M du plan (P) vérifiant :
(MA + MB + MC) · (MA + MB - MC) = 0 (0,5 pt)

3- Soit S la similitude plane directe de rapport 1/2, d'angle π/3 et qui transforme A en B.
On note I le centre de S et I' son image par la symétrie centrale S_B de centre B.

a) Montrer que le triangle IAI' est un triangle équilatéral de sens direct. (0,5 pt)

b) Montrer que (AI, AI') = 2π/3 (0,5 pt)

c) Placer alors les points I et I' (0,5 pt)

Partie B : Utilisation des nombres complexes

On rapporte le plan (P) au repère orthonormé direct (A, i, j) avec i = AB/|AB|.

1- a) Donner les affixes z_A et z_B respectives de A et B. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Donner le module et un argument de l'affixe z_C de C et en déduire l'affixe z_C sous forme algébrique. (0,25 pt + 0,25 pt + 0,25 pt)

c) Calculer l'affixe z_O de O. (0,25 pt)

2- a) Donner l'expression complexe de la similitude directe S de rapport 1/2 et d'angle π/3, qui transforme A en B. (0,5 pt)

b) En déduire l'affixe du centre I de S. (0,5 pt)

c) Vérifier que (z_I - z_O)/(z_A - z_O) est un nombre réel et que (z_I - z_B)/(z_A - z_B) est imaginaire pur. (0,25 pt + 0,25 pt)

d) Que peut-on en déduire pour les points I, O et A d'une part et pour les droites (IB) et (AB) d'autre part. (0,25 pt + 0,25 pt)

Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par : f(x) = (x - 1)e^-x + 1.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) d'unité 2cm.

Partie A : Étude de la fonction f

1- Calculer lim_x→-∞ f(x) et lim_x→+∞ f(x) (0,25 pt + 0,25 pt)
(Pour la limite en +∞, poser X = e^-x)

2- a) Étudier les variations de f. (0,75 pt)

b) Montrer que la droite (D) d'équation y = 1 est asymptote à (C). (0,75 pt)

c) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet pour solutions 0 et α dans ℝ et 2 < α < 3 (0,25 pt + 0,5 pt)

3- Tracer (C) et (D) dans un même repère. (1 pt + 0,5 pt)
On donne e = 2,7 ; e² = 7,29 et pour construction, on prendra α = 2,5.

4- Soit λ un nombre réel strictement inférieur à 0.

a) Exprimer en fonction de λ l'aire A(λ), en cm², de la portion du plan délimitée par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives x = λ et x = 0. (0,5 pt)

b) Calculer lim_λ→-∞ A(λ). (0,5 pt)

Partie B : Étude d'une suite

On considère la fonction numérique g définie sur [2,+∞[ par g(x) = 1 + ln(x/(x-1))

1- Étudier les variations de la fonction g. (0,75 pt)

2- Montrer que α est solution de l'équation g(x) = x. (0,5 pt)

3- Montrer que pour tout x ≥ 2, |g'(x)| ≤ 1/4 (0,5 pt)

4- (U_n)_n∈ℕ est la suite numérique définie par U₀ = 3 et U_n+1 = g(U_n), n ∈ ℕ et que tous les termes de la suite appartiennent à [2,3] (on ne demande pas de le démontrer).

a) Démontrer que pour tout x ≥ 2, on a |g(x) - α| ≤ (1/4)|x - α|. (0,5 pt)

b) Démontrer, en utilisant les théorèmes des inégalités des accroissements finis, que pour tout n ∈ ℕ, on a : |U_n+1 - α| ≤ (1/4)|U_n - α| et que |U_n - α| ≤ (1/4)ⁿ. (0,25 pt + 0,25 pt)

c) Prouver que la suite (U_n) converge vers un réel l que l'on précisera. (0,5 pt)

d) Déterminer l'entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p on ait : |U_n - α| < 10^-3. (0,5 pt)

Partie A - Arithmétique

1. Effectuer la division euclidienne de -283 par 19. (0,25 pt)

2. a) Traduire en terme de congruence la division euclidienne de 11 par 7. (0,25 pt)

b) Prouver que, pour tout entier naturel n, le nombre (2²ⁿ⁺¹ + 3⁶ⁿ + 11²ⁿ⁺¹) est divisible par 7. (0,75 pt)

3. Dans le système décimal, un entier naturel non nul X s'écrit :
X = a_pa_p-1...a₂a₁a₀ avec a_p ≠ 0.
Justifier qu'on a : X ≡ 0 [11] si ∑_i=0^p (-1)ⁱa_i ≡ 0 [11] (0,75 pt)

Partie B - Probabilités

Dans un restaurant, un menu est composé d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. On a le choix entre 3 entrées, 5 plats et 4 desserts. Une jeune fille va dans ce restaurant et elle choisit un menu au hasard.

a) Parmi les plats se trouve du poisson frit. Quelle est la probabilité pour qu'elle mange du poisson frit ? (1 pt)

b) Dans les entrées, il existe deux crudités différentes et la glace aux fraises fait partie du dessert.
Quelle est la probabilité pour qu'elle mange de la crudité et de la glace aux fraises ? (0,5 pt)

c) Quelle est la probabilité pour qu'elle mange de la crudité, du poisson frit et de la glace aux fraises ? (0,5 pt)

PARTIE B

OUI est un triangle équilatéral direct.

1. Construire, à l'extérieur de OUI, le parallélogramme direct OUKL et le triangle équilatéral direct ULP. (0,5 pt)

2. On appelle r la rotation de centre O et d'angle π/3, et t la translation de vecteur UO.

a) Préciser la nature de la transformation g définie par g = r ∘ t. (0,25 pt)

b) Déterminer les images par g des points I et K. (0,25 pt + 0,25 pt)

c) En déduire les éléments géométriques de g, ainsi que la nature du triangle IKP. (0,25 pt + 0,5 pt)

PARTIE A : Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x) = (définition à compléter selon l'énoncé complet).

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur [0;1]. (0,75 pt)

2. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition. (0,5 pt)

3. Déterminer le sens de variation de f et dresser son tableau de variations. (1 pt)

4. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans ]0;1[. (0,75 pt)

5. Étudier la convexité de f et déterminer les points d'inflexion éventuels. (0,75 pt)

PARTIE B

1. Prouver que pour tout réel a de [0, 1/2], on a :
0 ≤ 1/(1-a) - (1+a) ≤ 2a² (0,5 pt)
et 0 ≤ -ln(1-a) - (a + a²/2) ≤ 2a³/3 (0,5 pt)

2. On considère la fonction numérique Ψ définie sur [0;1] par : Ψ(t) = 1/f(t)
Prouver que, pour tout réel b de [-1/2;0], on a :
0 ≤ Ψ(1+b) - Ψ(1) + b/2 ≤ 2b²/3 (0,5 pt)

En déduire que Ψ est dérivable en 1 et donner Ψ'(1). (0,5 pt + 0,25 pt)

3. Déduire de ce qui précède que f est dérivable en 1 et que f'(1) = 1/2. (0,5 pt + 0,25 pt)

4. Tracer (C) et ses tangentes à l'origine des axes et au point d'abscisse 1. (0,5 pt + 0,25 pt + 0,25 pt)

Partie A - Probabilité

Chaque lettre du mot « FLEURS » est écrite sur chaque face d'un dé cubique normal (une seule lettre sur chaque face). Un enfant lance trois fois successivement ce dé et d'une manière indépendante. Il obtient ainsi un « mot » de trois lettres (un mot peut avoir un sens ou non).

1) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « L'enfant obtient un mot commençant par une consonne ». (0,5 pt)

B : « L'enfant obtient un mot commençant et se terminant par la même lettre ». (0,5 pt)

2) Soit C l'événement « l'enfant obtient un mot ayant des lettres toutes différentes ».

a) Définir l'événement C̄, événement contraire de C. (0,5 pt)

b) Calculer la probabilité de l'événement C̄. (0,5 pt)

NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Partie B - Arithmétique

1) Dans cette question a désigne un élément de Z/6Z.
Calculer a³ pour a = 2̄. (0,25 pt)

2) a) Résoudre dans Z², l'équation (E) : 7x - 3y = 0. (0,5 pt)

b) Déterminer, en utilisant l'algorithme d'Euclide, une solution particulière de l'équation (F) : 7x - 3y = 2. Résoudre dans Z², l'équation (F). (0,5 pt + 0,75 pt)

Dans le plan orienté (P), on donne le parallélogramme OABC.

PARTIE A (Construction sur une page entière)

Construire les triangles OCD et OEA, rectangles isocèles en O et de sens direct. Puis placer le point G, milieu de [DE]. (0,75 pt)

PARTIE B

On se propose de démontrer par deux méthodes différentes que les vecteurs CA et OG sont orthogonaux et que CA = 2OG.

1) Par les nombres complexes

On munit le plan (P) d'un repère orthogonal direct d'origine O. On désigne par a et b les affixes respectives des points C et E.

a) Déterminer les affixes respectives des points D et A. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Déterminer Z et Z' affixes respectives des vecteurs CA et OG. (0,5 pt + 0,5 pt)

c) Exprimer Z' en fonction de Z. (0,5 pt)

d) Démontrer que CA et OG sont orthogonaux et que CA = 2OG. (0,5 pt + 0,5 pt)

2) Par les transformations

On donne :
- r la rotation de centre O et d'angle π/2 ;
- h l'homothétie de centre D et de rapport 2 ;
- s la composée r ∘ h.

a) Donner la nature de la transformation s. (0,25 pt)

b) Déterminer s(G) et s(O). (0,5 pt + 0,5 pt)

c) En déduire que les vecteurs CA et OG sont orthogonaux et que CA = 2OG. (0,5 pt + 0,5 pt)

PARTIE C

Dans le repère orthogonal, déterminer l'expression complexe de la transformation s ainsi que l'affixe de son centre. (1 pt)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x - 1 + (x² + 2)e^-x. On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2cm.

PARTIE A. Étude de la fonction f

1) On donne la fonction numérique g définie sur ℝ par g(x) = 1 - (x² - 2x + 2)e^-x.

a) Dresser le tableau de variation de g. (1,5 pt)

b) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans ℝ et que α ∈ [0,35; 0,36] (on donne e = 2,7 ; e^-0,35 = 0,88, e^-0,36 = 0,69). (0,5 pt)

c) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (0,25 pt)

2) a) Montrer que pour tout x de ℝ, on a : f'(x) = g(x). (0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f. (0,75 pt)

c) Démontrer que la droite (D) d'équation y = x - 1 est une asymptote de (C). (0,5 pt)

d) Tracer dans le même repère, la droite (D) et la courbe (C) (on prend, pour construire (C), α = 0,355). (0,75 pt)

PARTIE B. Étude d'une suite

f est la fonction numérique définie précédemment. On appelle I l'intervalle [1; 2].

1) On considère la fonction h définie sur I par h(x) = f(x) - x.

a) Démontrer que h est strictement décroissante sur I, puis dresser son tableau de variation. (1,25 pt)

b) En déduire que l'équation f(x) = x admet une solution unique ℓ appartenant à I. (0,25 pt + 0,25 pt)

2) Démontrer que pour tout réel x de I, on a : f(x) ∈ I et |f'(x)| ≤ 1/2. (0,25 pt + 0,25 pt)

3) (U_n)_n∈ℕ est la suite numérique définie par : U₀ = 1 et U_n+1 = f(U_n) où n ∈ ℕ.

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : U_n ∈ I. (0,25 pt)

b) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : |U_n+1 - ℓ| ≤ (1/2)|U_n - ℓ| et que |U_n - ℓ| ≤ (1/2)ⁿ. (0,5 pt + 0,75 pt)

c) Prouver que la suite (U_n) converge vers un réel ℓ, que l'on précisera. (0,25 pt)

4) Déterminer l'entier p tel que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, on ait : |U_n - ℓ| < 10^-2. (0,25 pt)

Partie A - Probabilité

Une urne contient six billes indiscernables au toucher, dont quatre numérotées 12 et deux numérotées 13.

1 - Pour commencer, le jeu consiste à extraire simultanément et au hasard trois billes de l'urne.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

E : « La somme des trois nombres inscrits sur les trois billes extraites est strictement supérieure à 36 ». (0,5 pt)

F : « Les trois billes extraites portent le même numéro ». (0,5 pt)

2 - Maintenant, le jeu consiste à extraire successivement et sans remise, deux billes de l'urne.
Calculer la probabilité de l'événement :

G : « Le produit des deux nombres inscrits sur les deux billes est un carré parfait ». (0,5 pt)

3 - Enfin, le jeu consiste à extraire successivement et avec remise, sept billes de l'urne.
Calculer la probabilité de l'événement :

H : « Obtenir au moins une bille numéro 13 ». (0,5 pt)

N.B. : On donnera tous les résultats à 10^-2 près.

Partie B - Arithmétique

1 - On considère le nombre A défini pour tout entier naturel n par A = 9ⁿ⁺¹ + 2⁶ⁿ⁺¹.
Démontrer que A est divisible par 11 pour tout n de IN :

a) en utilisant les congruences (0,5 pt)

b) en raisonnant par récurrence (0,5 pt)

2 - Déterminer tous les entiers relatifs x vérifiant le système : \[ \begin{cases} x \equiv 2 \ [3] \\ x \equiv 3 \ [5] \\ x \equiv 4 \ [7] \end{cases} \] (1,0 pt)

PARTIE A

Dans le plan orienté (P), l'unité de longueur est le centimètre. On donne :

• Le triangle OAB
• Le triangle OCB, équilatéral direct de centre de gravité G
• R_B la rotation de centre B et d'angle π/3
• R_O la rotation de centre O et d'angle π/3
• R la composée R_B ∘ R_O

1 - a) Faire une figure en prenant OA = OB = 8. (0,25 pt)

b) Préciser la nature de la transformation R. (0,25 pt)

c) En décomposant R_B et R_O, déterminer le centre de R. (1,0 pt)

2 - On désigne par H le barycentre des points pondérés (O,2), (B,1) et (C,1). Soit I le milieu du segment [CB].

a) Construire H. (0,5 pt)

b) Déterminer l'ensemble (C) des points M du plan (P) tels que :
||2MO + MB + MC|| = ||MO + 2MB - MC|| (0,75 pt)

c) Montrer que (C) passe par I. Construire (C). (0,25 pt + 0,25 pt)

PARTIE B

On munit le plan (P) du repère orthonormé direct (O, i, j).

1 - Déterminer l'affixe de chacun des points O, A, B, C, et G. (1,0 pt)

2 - a) Donner une mesure de l'angle (GA, GO) et la valeur du rapport GA/GO. (0,5 pt + 0,5 pt)

b) En déduire les éléments caractéristiques de la similitude plane directe S qui transforme G en A et laisse O invariant. (1,0 pt)

c) Donner l'expression complexe de S. (0,75 pt)

PARTIE A

Soit n ∈ IN*. f_n est la fonction numérique définie dans l'intervalle [0,+∞[ par :
f_n(x) = x - n(1 - e^-x/n)
(C_n) désigne la courbe représentative de f_n dans un plan (P) muni d'un repère orthonormé direct, d'unité graphique 2 cm.

1 - a) Montrer que f_n est continue et dérivable en 0. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f_n sur [0,+∞[. (1,5 pt)

2 - On considère la fonction numérique g définie sur [0,+∞[ par g(u) = e^-u + u - 1.

a) Déterminer le sens de variation de g sur [0,+∞[. (1,25 pt)

b) Déduire de cette monotonie de g, que pour tout réel u de [0,+∞[ :
0 ≤ 1 - e^-u ≤ u (0,5 pt)

c) Montrer ensuite, que pour tout réel h de [0,+∞[ : 0 ≤ e^-h + h - 1 ≤ h²/2 (0,5 pt)

d) En déduire que pour tout réel x de ]0,+∞[ : 0 ≤ f_n(x) - (x - x²/(2n)) ≤ x³/(6n²)
et que la droite (Δ_n) d'équation y = x - x²/(2n) est une asymptote de (C_n). (0,5 pt + 0,25 pt)

e) Vérifier que (C_n) reste au-dessus de (Δ_n). (0,25 pt)

3 - Tracer (C₂) et (Δ₂) dans (P). (0,75 pt)

PARTIE B

On pose I_n = ∫₀¹ f_n(t) dt pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

a) Montrer que pour tout réel t de [0;1] : (t - t²/(2n)) ≤ f_n(t) ≤ t (0,75 pt)

b) En déduire que I_n = 1/2 (0,25 pt)

PARTIE C

On considère l'équation différentielle (E) : y' - y = (1 - x)/x

1 - Résoudre l'équation différentielle (E') : y' - y = 0. (0,5 pt)

2 - a) Montrer que la fonction f telle que f(x) = x, où x ∈ ]0,+∞[, est solution de (E). (0,25 pt)

b) φ étant une fonction numérique dérivable sur ]0,+∞[, montrer que (φ + f) est solution de (E) si et seulement si φ est solution de (E'). (0,75 pt)

c) Achever la résolution de (E). (0,5 pt)

Partie I - Arithmétique

1 - Montrer par récurrence que 9ⁿ – 2ⁿ est divisible par 7 pour tout n ∈ IN*. (0,50 pt)

2 - Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, 3n – 2 et 5n – 3 sont premiers entre eux. (0,25 pt)

3 - On considère dans Z/7Z, l'équation (E) : x² – x + 3̄ = 0̄

a) Vérifier que 2̄ est une solution de (E). (0,25 pt)

b) Démontrer que l'équation (E) est équivalente à : (x – 4̄)² = 6̄. (0,50 pt)

c) En déduire l'ensemble S des entiers relatifs x vérifiant x ≡ ? [7] (0,50 pt)

Partie II - Probabilité

Une urne contient :

• dix boules blanches numérotées de 1 à 10
• six boules noires numérotées de 11 à 16
• et quatre boules vertes numérotées de 17 à 20

1 - On tire au hasard et successivement sans remise deux boules de l'urne ; calculer la probabilité des événements suivants :

A : « Les deux boules tirées sont de même couleur ». (0,50 pt)

B : « Les numéros des boules tirées sont des nombres premiers ». (0,50 pt)

2 - On tire au hasard et successivement avec remise deux boules de l'urne ; calculer la probabilité des événements suivants :

C : « Une au moins des boules tirées est blanche ». (0,50 pt)

D : « Les numéros des boules tirées sont divisibles par 7 ». (0,50 pt)

N.B. : Mettre les résultats sous forme de fractions irréductibles

Dans le plan orienté (P), on considère le carré ABCD de centre O tel que la mesure de l'angle (AB, AD) = π/2. Soit E le milieu du segment [CD]. On considère le carré DEFG de centre O' tel que la mesure de l'angle (DE, DG) = π/2. On note respectivement (Γ) et (Γ') les cercles circonscrits aux carrés ABCD et DEFG.

Partie A

1 - Faire une figure avec AB = 6cm. (0,25 pt)

2 - Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.

a) Déterminer le rapport et l'angle de S. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Préciser l'image du point E par S et en déduire une mesure de l'angle (AE, BF). (0,25 pt + 0,25 pt)

3 - On note I le point d'intersection des droites (AE) et (BF).

a) Placer le point I sur la figure. (0,25 pt)

b) Montrer que le point I est l'intersection des cercles (Γ) et (Γ'). (0,50 pt)

(On rappelle que : quatre points distincts A, B, C et D appartiennent à un même cercle si et seulement si mes (ACB) = mes (ADB) [π])

c) En déduire que les droites (ID) et (BF) sont perpendiculaires. (0,50 pt)

4 - On considère la symétrie orthogonale D d'axe (Δ) = (OO').
Montrer que D(D) = I. (0,50 pt)

Partie B

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct (D, u, v) avec u = DA/|DA| et v = DC/|DC|.

1 - Donner les affixes des points A, B, C, D et G. (1,00 pt)

2 - a) Écrire l'expression complexe de la similitude plane directe S de centre D qui transforme A en B. (0,50 pt)

b) En déduire les éléments caractéristiques de S. (0,50 pt)

3 - On considère l'application f : (P) → (P), qui à tout point M d'affixe z = x + iy associe le point M' d'affixe z' = x' + iy' ; x, y, x', y' ∈ IR, tel que z' = (1/2 + i√3/2)z + (–1/2 + i√3/2).

a) Déterminer la nature et les éléments géométriques de f. (0,25 pt + 0,50 pt)

b) Exprimer x' et y' en fonction de x et y. (0,50 pt)

c) Déterminer l'affixe z_I du point I tel que f(D) = I. (0,50 pt)

d) Vérifier que les points G, I et C sont alignés. (0,25 pt)

Partie A

I. On considère la fonction g définie sur [0, +∞[ par : g(x) = ln(x+1) – x + x²/2 – x³/3.

1 - Étudier la variation de g, puis en déduire le signe de g(x) pour tout x ≥ 0. (0,25 pt + 0,25 pt)

2 - Montrer que pour tout x ≥ 0 on a : ln(1+x) – x + x²/2 ≥ 0 puis déduire des questions précédentes que x²/2 – x³/3 ≤ ln(1+x) – x + x²/2 ≤ x²/2. (0,50 pt + 0,50 pt)

II. Soit la fonction f définie sur [0, +∞[ par : f(x) = [ln(1+x)]/x, si x ≠ 0 et f(0) = 1.

1 - a) Étudier la continuité et la dérivabilité de f, à droite au point d'abscisse 0. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Donner l'équation de la tangente (T) à la courbe de f au point d'abscisse 0. (0,25 pt)

c) Étudier les variations de la fonction h définie sur [0, +∞[ par :
h(x) = x – (x+1)ln(x+1). En déduire le signe de h pour tout x ≥ 0. (0,50 pt + 0,25 pt)

d) Déterminer la fonction dérivée f' de f et en déduire son signe. (0,25 pt + 0,25 pt)

e) Dresser le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative (C) avec la tangente (T), dans le plan muni d'un repère (O; i, j) avec 1 unité = 2cm. (0,50 pt + 0,50 pt + 0,25 pt)

2 - Soit F la fonction définie par F(x) = ∫₀^x f(t) dt, avec x ≥ 0. Montrer que 5/12 ≤ F(1) ≤ 1/2. (On pourra utiliser la question I.2) Que peut-on en conclure ? (0,50 pt + 0,25 pt)

Partie B

I. 1 - Montrer que l'image par f de l'intervalle I = [0,1] est incluse dans lui-même. (0,25 pt)

2 - Montrer que l'équation f(x) = x admet une solution unique α ∈ I. (0,50 pt)

3 - Soit la fonction k définie sur [0, +∞[ par : k(x) = x³ + x² + 2x – 2(x+1)ln(x+1).
Calculer la dérivée k'(x) de k(x) pour tout x ≥ 0 et montrer que k' est croissante sur [0, +∞[. En déduire le signe de k'(x) et de k(x) pour tout x ≥ 0. (0,25 pt × 4)

4 - Montrer alors que pour tout x ≥ 0, f'(x) + 1/2 ≥ 0, puis en déduire que pour tout x ∈ I |f'(x)| ≤ 1/2. (0,50 pt + 0,25 pt)

II. On considère la suite (U_n)_n∈IN définie par : U₀ = 1 et U_n+1 = f(U_n), n ∈ IN.

1 - Montrer par récurrence que pour tout n ∈ IN, U_n ∈ I. (0,25 pt)

2 - Montrer, en appliquant le théorème des inégalités des accroissements finis, que pour tout entier naturel n, |U_n+1 – α| ≤ 1/2 |U_n – α|. (0,25 pt)

3 - En déduire que pour tout entier naturel n, |U_n – α| ≤ (1/2)ⁿ. (0,25 pt)

4 - Calculer la limite de U_n quand n tend vers +∞. (0,25 pt)

Partie I - Arithmétique

Dans un système de numération de base n, on considère les nombres a = 211_n, b = 312_n et c = 133032_n.

1 - a) Sachant que c = ab, montrer que n divise 8. (0,75 pt)

b) En déduire la valeur de n. (0,25 pt)

c) Écrire a et b dans le système décimal. (0,25 pt)

2 - Résoudre dans Z × Z, l'équation : 37x + 54y = 3 (0,75 pt)

Partie II - Probabilité

Une urne contient 4 jetons portant respectivement les numéros 0, 1, 2, 3.

On tire un à un sans remise des jetons jusqu'à ce que l'urne soit vide.

1) Combien y a-t-il de résultats possibles ? (0,5 pt)

2) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

E : « Le numéro du 3e jeton tiré est égal à 3 ». (0,5 pt)

F : « Le numéro du 3e jeton tiré est compris entre les numéros des deux premiers ». (0,5 pt)

G : « Le produit des numéros des deux derniers jetons est non nul ». (0,5 pt)

Dans le plan orienté (P), on considère le triangle ABC rectangle en A tel que BC = 2AB = 4 cm et mes (AB, AC) = π/2. On note :

• r_A la rotation de centre A et d'angle de mesure π/2
• r_B la rotation de centre B et d'angle de mesure π/3

PARTIE A : Méthode géométrique

1 - a) Déterminer une mesure de l'angle (BA, BC). (0,5 pt)

b) En décomposant r_A et r_B en deux symétries orthogonales convenablement choisies, déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f = r_A ∘ r_B. (0,25 pt)

2) Soit S la similitude directe de centre B qui transforme A en C.

a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude S. (0,5 pt)

b) Faire la construction géométrique du point C₁ image du point C par la similitude S. (0,25 pt)

c) On note C₂ l'image du point C₁ par la similitude S ; montrer que les points A, B et C₂ sont alignés. (0,5 pt)

PARTIE B : Méthode complexe

1 - Donner les éléments caractéristiques de f.

2 - Donner l'expression complexe de la similitude S définie dans la PARTIE A et en déduire ses éléments caractéristiques. (0,75 pt)

3 - Soit g la transformation définie par sa forme complexe : z' = (-1 - √3)z + 4 + 2i√3

a) Déterminer les affixes de B' et C' images respectives de B et C par la transformation g. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Vérifier que les points B, C et C' sont alignés. (0,75 pt)

c) En déduire les éléments caractéristiques de g. (0,75 pt)

Soit f_α la fonction numérique définie sur [0, +∞[ par :
f_α(0) = 0 et f_α(x) = x^αe^x pour x > 0 où α est un nombre réel non nul.
On désigne par (C_α) la courbe représentative de f_α dans un repère orthonormé direct (O, i, j) d'unité 2 cm.

PARTIE A

1 - Étudier suivant le signe de α, le sens de variation de f_α. (1,5 pt)

2 - On prend α = 1.

a) Dresser le tableau de variation de f₁. (1 pt)

b) Construire la courbe (C₁). (1 pt)

3 - On considère l'équation différentielle (E) : y'' - 2y' + y = 4(x - 1)e^x-1

a) Vérifier que f est une solution de (E). (0,5 pt)

b) Résoudre l'équation (E') : y'' - 2y' + y = 0 et en déduire les solutions générales de (E). (0,75 pt)

PARTIE B

Pour tout entier n ≥ 1, on pose J_n = ∫₀¹ xⁿe^x dx.

1 - a) En utilisant un encadrement de e^x sur l'intervalle [0,1], montrer que pour tout n ≥ 1, on a :
\[ \frac{1}{n + 1} ≤ J_n ≤ \frac{e}{n + 1} \] (0,75 pt)

b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n ≥ 1 on a : J_n+1 = (n+1)J_n - 1 (0,75 pt)

2 - On pose I_n = n!e - J_n

a) Calculer I₁. (0,25 pt)

b) Exprimer I_n+1 à l'aide de I_n. (0,25 pt)
En déduire par récurrence que pour tout n ≥ 1, I_n est un entier naturel. (0,25 pt)

c) Montrer que pour tout n ≥ 2, le nombre n!e tel que n!e = I_n + J_n n'est pas un entier naturel. (0,25 pt)

d) Soient p et q deux entiers naturels non nuls.

Montrer que pour n ≥ q, le nombre n!(p/q) est un entier naturel. (0,5 pt)
Déduire des questions précédentes que e n'est pas un nombre rationnel. (0,25 pt)

1°) On donne l'équation : 2x – y = 1 (1). x et y étant les inconnues, x et y sont des entiers relatifs.

a) Trouver une solution particulière (x₀, y₀) de cette équation. (0,25 pt)

b) Résoudre dans Z × Z l'équation (1). (0,75 pt)

2°) Un entier naturel A est tel que :

• dans la base 10, A s'écrit : A = b + 6
• dans le système binaire, A s'écrit : A = (1a1)₂

Trouver une relation qui lie a et b. (0,50 pt)

3°) Résoudre dans IN² le système à deux inconnues x et y suivant : \[ \begin{cases} PGCD(x, y) = 6 \\ PPCM(x, y) = 180 \end{cases} \] (0,50 pt)

4°) Deux urnes identiques U₁ et U₂ contiennent chacune :

• deux boules numérotées chacune 0
• trois boules numérotées chacune 1
• une boule numérotée 2

On tire au hasard une boule de U₁ puis on extrait au hasard et simultanément deux boules de U₂.

a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « Les boules obtenues portent le même numéro ». (0,50 pt)

B : « La somme des numéros notés est égale à 4 ». (0,50 pt)

b) Soient x le numéro de la première boule tirée et y la somme des numéros des boules obtenues au deuxième tirage. Calculer la probabilité de l'événement :

C : « Le couple (x, y) est solution de l'équation 2x – y = 1 ». (1,00 pt)

Soit (ABC) un triangle isocèle et rectangle en A avec AB = AC = 4cm et (AB, AC) = π/2. Soient I, J et K les milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [CA] et E le symétrique de A par rapport à J.

PARTIE 1

1°) a) Montrer que 2AI = AB et 2AK = AC. En déduire que (AI)⊥(AK). (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Montrer que 2IJ = AC et 2JK = AB. En déduire que (IJ)⊥(JK). (0,25 pt + 0,25 pt)

c) Montrer que le quadruplet (AIJK) est un carré. Faites une figure. (0,25 pt + 0,50 pt)

2°) Soit r la rotation de centre J et d'angle π/2 et t la translation de vecteur AK.

a) Déterminer l'image du point I par t et celle de K par r. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Déterminer l'image de I par f = r ∘ t.
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f. (0,25 pt + 0,25 pt)

c) Soit g = t ∘ r. Déterminer l'image de K par g. (0,50 pt)
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de g. (0,25 pt)

3°) Soit S la similitude plane directe qui transforme B en E et J en C.
Préciser le rapport et l'angle de S. (0,50 pt + 0,50 pt)

N.B. : Justifier votre réponse.

PARTIE 2

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé où A(0,0), B(4,0) et C(0,4).

1°) Préciser les coordonnées des points E et J. (0,25 pt)

2°) a) Donner l'écriture complexe de S. (S étant la similitude plane directe donnée dans la PARTIE 1, 3°). (1,00 pt)

b) En déduire les coordonnées du centre de S. (0,50 pt)

3°) Soit la transformation S' = S ∘ S(AB), où S(AB) est la symétrie orthogonale par rapport à la droite (AB).

a) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de S'. (0,25 pt)

b) Déterminer l'écriture complexe associée à S'. (0,50 pt)

Soit la fonction numérique f définie sur ℝ par : f(x) = (x ln|x|)/(x-1) si x ≠ 0 et x ≠ 1, et f(0) = 0, f(1) = 1.
(C) sa représentation graphique dans un plan affine rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 2cm).

PARTIE A

1°) Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]-∞, 0[ par : g(x) = (1 – x) ln(1 – x) – x.

a) Étudier les variations de g et dresser son tableau de variation. (1,50 pt)

b) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (0,25 pt)

2°) a) Montrer que f est continue en x₀ = 0. (0,25 pt)

b) Calculer lim_x→0 f(x). (0,25 pt)

c) Pour x > 0, montrer que : f(x) = [ln x/(x-1)] - e.
Calculer lim_x→1 f(x). (Indication : poser X = x-1). (0,50 pt + 0,25 pt)

d) En utilisant les résultats de b/ et c/, quelles conclusions peut-on tirer sur f puis sur (C) ? (0,50 pt)

3°) a) Calculer lim_x→-∞ f(x) et lim_x→+∞ f(x). (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Pour tout x élément de l'intervalle ]-∞, 0[, montrer que : f'(x) = g(x)/(x-1)². (0,25 pt)

c) Pour tout x élément de l'intervalle ]0, +∞[, calculer f'(x). (0,50 pt)

d) Dresser le tableau de variation de f. (0,50 pt)

4°) Étudier les branches infinies de (C). (0,25 pt + 0,25 pt)

5°) Montrer que la courbe (C) coupe l'axe des abscisses en deux points distincts d'abscisses respectives 1 et α avec -2 < α < -1. (0,25 pt + 0,50 pt)

6°) Tracer la courbe (C) en précisant les demi-tangentes à l'origine O du repère. (0,75 pt + 0,25 pt)

7°) Calculer, en cm², l'aire A du domaine plan limité par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1. (0,25 pt)

PARTIE B

Soit (I_n)_n∈IN la suite définie par : I₀ = ∫₀¹ e^t dt et pour tout n ∈ IN*, I_n = ∫₀¹ tⁿe^t dt.

1°) À l'aide d'une intégration par parties, calculer I₁. (0,25 pt)

2°) Montrer que pour tout n élément de IN, on a I_n+1 = I_n - 1/(n+1). (0,50 pt)

3°) En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n on a :
e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! + I_n. (0,25 pt)

4°) Donner alors l'expression de I_n en fonction de n. (0,25 pt)

On donne : ln 2 ≈ 0,7; ln 3 ≈ 1,1; e ≈ 2,7

Partie I - Probabilité

Un dé cubique a quatre faces numérotées 0 et deux faces numérotées 1. Quand on lance ce dé, toutes les faces ont la même probabilité d'apparition.

1 - On lance ce dé une fois. Calculer les probabilités des événements suivants :

A : « La face supérieure du dé porte le numéro 0 ». (0,50 pt)

B : « La face supérieure du dé porte le numéro 1 ». (0,25 pt)

2 - On lance ce dé cinq fois de suite ; les lancers étant indépendants, calculer les probabilités des événements suivants :

C : « Le numéro 0 apparaît exactement une fois ». (0,50 pt)

D : « Le numéro 1 apparaît exactement cinq fois ». (0,25 pt)

E : « Le numéro 0 apparaît au moins une fois ». (0,50 pt)

Partie II - Arithmétique

1 - a) Convertir dans la base 10 l'entier x écrit dans le système binaire : (1011)₂. (0,25 pt)

b) Convertir dans le système binaire l'entier naturel y = 23 de la base 10. (0,25 pt)

2 - a) Dresser la table de multiplication et la table d'addition de Z/2Z. (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Résoudre dans Z/2Z l'équation à une inconnue x² + x + 1 = 0. (0,50 pt)

c) Résoudre dans Z/2Z × Z/2Z le système de deux équations à deux inconnues x et y : \[ \begin{cases} x + y = 1 \\ x \cdot y = 0 \end{cases} \] (0,50 pt)

On considère un triangle (ABC) rectangle en A avec (AB, AC) = π/2 et AB = 2AC = 8 cm.
Soient I, J et E les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [BC].

PARTIE A

1 - a) Déterminer et construire le barycentre G du système des points pondérés {(A, -1), (B, 1), (C, 1)}. (0,50 pt)

b) Exprimer AG en fonction de BC et calculer la distance AG. (0,25 pt + 0,25 pt)

c) Montrer que le point E est le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC). (0,25 pt)

d) Construire le point D tel que (ABDC) soit un rectangle et déterminer 2 isométries affines qui laissent globalement invariant le rectangle (ABDC). (0,25 pt + 0,25 pt)

e) Déterminer et construire l'ensemble (C) des points M vérifiant : -MA² + MB² + MC² = 20.
Vérifier que E appartient à (C). (0,50 pt + 0,25 pt)

2 - Montrer que pour tout point M du plan contenant A, B et C, -MA + MB + MC est un vecteur fixe que l'on précisera.
Construire le point K tel que AK = -MA + MB + MC. (0,25 pt + 0,25 pt)

PARTIE B

Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormé (A, u, v) tel que u = AB/|AB|, v = AC/|AC|.
Soient S₁ la similitude plane directe qui transforme C en C et I en A ; S₂ la similitude plane directe qui transforme I en I et A en C.

1 - Déterminer z_A, z_B, z_C, z_I affixes respectives des points A, B, C et I. (0,50 pt)

2 - a) Déterminer les expressions complexes de S₁ et S₂. (0,50 pt + 0,50 pt)

b) Préciser les éléments caractéristiques de ces deux similitudes directes. (0,50 pt + 0,50 pt)

3 - Soit R = S₂ ∘ S₁.

a) Préciser l'image de I par R. (0,25 pt)

b) Donner l'expression complexe associée à la transformation ponctuelle R. (0,50 pt)

c) En déduire ses éléments géométriques. (0,25 pt)

4 - Soit g la transformation ponctuelle réciproque de S₁.
Caractériser g et trouver la représentation complexe associée à g. (0,25 pt + 0,25 pt)

Pour tout n élément de IN*, on considère la fonction f_n définie par :
f_n(x) = x(ln x)ⁿ si x > 0, et f_n(0) = 0.
On note (C_n) la courbe représentative de f_n dans un repère orthonormé (O, i, j) d'unité : 2 cm.

PARTIE I

On désigne par I_n = ∫₁^e (ln x)ⁿ dx, n ∈ IN*.

1 - Calculer I₁. (0,50 pt)

2 - À l'aide d'une intégration par parties :

a) Calculer I₂. (0,25 pt)

b) Donner une expression de I_n+1 en fonction de I_n. (0,50 pt)

c) En déduire I₃. (0,25 pt)

PARTIE II - Étude des fonctions f_n pour n fixé

A/ 1 - a) Montrer que f_n est continue en 0. (0,25 pt)

b) Étudier la dérivabilité de f_n en 0. (0,25 pt)

c) En déduire la tangente à (C_n) au point d'abscisse x₀ = 0. (0,25 pt)

2 - Montrer que l'équation f_n+1(x) - f_n(x) = 0 admet trois solutions dans l'intervalle [0, +∞[. (0,50 pt)
En déduire que toutes les courbes (C_n) passent par 3 points fixes dont on précisera les coordonnées. (0,25 pt)

B/ Variation de f_n, pour n ≥ 2

1 - Calculer f'_n(x). (0,25 pt)

2 - Montrer que pour tout x > 0 : f'_n(x) = [n + ln x](ln x)^n-1. (0,50 pt)

3 - Pour n impair

a) Montrer que f'_n(x) et [n + ln x] sont de même signe. (0,25 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f_n. On calculera en particulier f_n(e^-n). (0,50 pt + 0,25 pt)
Application : Dresser le tableau de variation de f₃. (0,25 pt)

4 - Pour n pair

a) Montrer que :

• pour tout x ∈ ]0, e^-n[ ∪ ]1, +∞[ : f'_n(x) > 0 (0,25 pt)
• pour tout x ∈ [e^-n, 1] : f'_n(x) ≤ 0 (0,25 pt)

b) Dresser le tableau de variation de f_n. (0,50 pt)
Application : Dresser le tableau de variation de f₂. (0,25 pt)

5 - Étudier les positions relatives de (C₂) et (C₃) respectivement dans les intervalles ]1, e[ et [e, +∞[. (0,25 pt + 0,25 pt)

6 - Montrer que le point I(1, 0) est un point d'inflexion de (C₃). (0,25 pt)

7 - Tracer dans un même repère (C₂) et (C₃). (0,50 pt + 0,50 pt)

C/ On note g la restriction de f₂ à l'intervalle [1, e].

1 - Montrer que g est une bijection de l'intervalle [1, e] sur un intervalle J que l'on déterminera. (0,25 pt)

2 - Calculer (g^-1)'(e), g^-1 étant la fonction réciproque de g. (0,25 pt)

3 - Représenter graphiquement g^-1 dans le même repère que (C₂) et (C₃). (0,50 pt)

On donne : e^-3 ≈ 0,05; e^-2 ≈ 0,13; e ≈ 2,7

Partie I - Probabilité

Une roue est divisée en douze secteurs identiques : trois rouges, quatre blancs, quatre verts et un noir. Quand on fait tourner la roue, chaque secteur a la même probabilité d'être pointé par un index fixe lorsque la roue s'arrête.

1°- Setra tourne la roue une fois. Déterminer les probabilités des événements suivants :

A : « l'index pointe sur un secteur noir ». (0,75 pt)

B : « l'index pointe sur un rouge ou un blanc ». (0,75 pt)

2°- On adopte la règle suivante : lors d'une partie, le joueur marque 10 points si l'index pointe sur un secteur noir ; 5 points sur un rouge ; 1 point sur un vert et \( -3 \) points sur un blanc. Naïvo joue trois parties successives d'une manière indépendante. Déterminer les probabilités des événements :

C : « Naïvo totalise 25 points ». (0,75 pt)

D : « Naïvo totalise au moins 21 points ». (0,75 pt)

Partie II - Arithmétique

1°- Pour \( \chi \) dans \( 9 / g_9 \), donner toutes les valeurs de \( \chi^2 \). (0,75 pt)

2°- Donner alors les quatre éléments de \( 9 / g_9 \) qui sont solutions de l'équation \( \chi^p = \chi \), p étant un entier naturel non nul. (0,75 pt)

3°- Montrer que pour tout \( \chi \) de \( 9 / g_9 \) on a \( \chi^3 = \chi \). (0,75 pt)

4°- En déduire que pour tout entier naturel \( n \) ; \( n^3 - n \) est divisible par 6. (0,75 pt)

Dans un plan orienté \( P \), soit ABCD un carré direct, de centre J.

Partie A

1 – On désigne par :

• \( \lambda \) : la rotation de centre A et d'angle \( \frac{\pi}{2} \)
• \( t \) : la translation de vecteur \( \overrightarrow{AB} \)
• \( k \) : l'homothéité de centre C, de rapport \( \sqrt{3} \)

a) Montrer que \( \lambda' = t \circ \lambda \) est une rotation dont on précisera l'angle. (0,75 pt)

b) Déterminer les images des points A et B par \( \lambda' \). (0,75 pt)

c) En déduire le centre de \( \lambda' \). (0,75 pt)

2 – On note \( \xi = \lambda' \circ k \).

a) Montrer que \( \xi \) est une similitude directe dont on précisera l'angle et le rapport. (0,75 pt)

b) Soit I le centre de \( \xi \). Après avoir déterminé l'image de C par \( \xi \), prouver que \( (\overrightarrow{IC}, \overrightarrow{ID}) = \frac{\pi}{2} \) et \( ID = \sqrt{3} \cdot IC \). (1 pt)

c) En considérant le triangle (ICD), donner une mesure de l'angle \( (\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{C1}) \) et placer I sur la figure. (0,75 pt)

d) Déterminer et construire l'ensemble : (E) = \( \{M \in P / MD^2 - 3MC^2 = 0\} \) (1 pt)

Partie B

On note K le milieu de [ CD ]. On choisit comme repère orthonormé direct (A, AB, AD).

1. Quelles sont les affixes de A, C, J, K ? (0,5 pt)

2. On note S la similitude directe qui transforme A en J et C en K.

a) Écrire l'expression complexe de S. (0,25 pt)

b) Donner ses éléments géométriques. (0,25 pt)

Partie C

E, F, G sont trois points non alignés au plan P, θ un réel donné non nul.
On note : \( R_F \) : la rotation de centre F et d'angle θ.
\( R_E \) : la rotation de centre E et d'angle θ.
On note \( H = R_F (E) \), \( P = R_F (G) \) et \( Q = R_E (G) \).

1. Quelle est la nature de \( R_E \) o \( R_F^{-1} \) ? (0,75 pt)

2. En déduire que E H P Q est un parallélogramme. (1,25 pt)

Partie A

Soit f la fonction définie par \( f(x) = \frac{\ln x}{e^x} \) où ln désigne le logarithme népérien. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal \( O, i, j \) avec \( II + III = 1 \text{cm}, II + III = 5 \text{cm} \).

1. On pose \( g(x) = -\frac{1}{x} + \ln x \).

a) Étudier la variation de g. (0,5 pt)

b) Montrer que l'équation \( g(x) = 0 \) admet une solution unique α telle que \( \frac{3}{2} < α < 2 \) et en déduire le signe de \( g(x) \) suivant les valeurs de x. (0,75 pt)

c) Étudier la variation de f. (1 pt)

d) Écrire \( f(\alpha) \) sans \( \ln α \) et en déduire que \( \frac{e^{-2}}{2} < f(\alpha) < 2 e^{-3/2} \). (0,75 pt)

e) Tracer la courbe (C). (0,5 pt)

f) On pose \( G(x) = \int_{2}^{x} f(t) dt, \forall x > 0 \). Montrer que G est dérivable et calculer \( G'(x) \). (0,5 pt)

Partie B

On pose \( \forall x > 0 \), \( h(x) = e^{\frac{1}{x}} \).

1. Montrer que l'équation \( g(x) = 0 \) est équivalente à \( h(x) = x \). (0,25 pt)

2. Calculer \( h'(x) \) et vérifier que : \( \forall x \in \left[ \frac{3}{2}, 2 \right], -\frac{4}{9} e^{2/3} \leq h'(x) \leq -\frac{1}{4} e^{1/2} \).

En déduire qu'il existe un réel \( k \in ]0,1[ \) tel que : \( \forall x \in \left[ \frac{3}{2}, 2 \right], |h'(x)| \leq k \). (0,75 pt)

3. Prouver que \( \forall x, y \in \left[ \frac{3}{2}, 2 \right], |h(x) - h(y)| \leq k |x-y| \). (0,75 pt)

4. On définit la suite (Un) par \( U_0 = 2 \) et \( U_{n+1} = h(U_n) \).

a) Montrer que \( \forall n \in IN, \frac{3}{2} \leq U_n \leq 2 \). (0,75 pt)

b) Montrer que \( \forall n \in IN, |U_{n+1} - \alpha| \leq k |U_n - \alpha| \). (0,75 pt)

c) En déduire que \( \forall n \in IN, |U_n - \alpha| \leq k^n |U_0 - \alpha| \) et calculer \( \lim U_n \). (0,75 pt)

Partie C

On considère l'équation différentielle (E) \( y'' + 3y' + 2y = \frac{x - 1}{x^2} e^{-x} \)

1. Vérifier que la fonction f de la partie A est solution de (E). (0,25 pt)

2. Résoudre alors (E). (0,5 pt)

On donne : \( e^{-2} \approx 0,13; e^{-3/2} \approx 0,22; e^{1/2} \approx 1,6; e^{2/3} \approx 1,94 \).

Dans le plan orienté \( \mathcal{P} \), on considère le rectangle ABCD tel que AD = 2AB = 4 et mes \( (\overline{AB}, \overline{AD}) = \frac{\pi}{2} \).

Soit I le milieu du segment [BC] et (C) le cercle de centre B passant par A.

1°- a) Déterminer le barycentre du système de points pondérés \(\{(A, 1), (C, 1), (D, -1)\}\). (0,5 pt)

b) On considère l'ensemble \((E_k)\) des points M du plan \( \mathcal{P}\) tels que \( ||MA||^2 + ||MC||^2 - ||MD||^2 = k \).

Calculer le réel k pour que \((E_k)\) soit le cercle (C). (0,5 pt)

c) Soit S la similitude plane directe qui transforme A en I et B en D et soit σ la symétrie orthogonale d'axe (BD).

On se propose dans cette question de déterminer géométriquement les éléments caractéristiques de S.

a) Déterminer et construire l'image (C') du cercle (C) par S. (0,5 pt)

b) Soit Ω le point d'intersection de (C) et (C') autre que I. Montrer que (DB) est la médiatrice du segment [ΩI] et que Ω = σ(I). (0,5 pt)

c) En déduire que mes \((\overline{OB}, \overline{OD})\) = mes \((\overline{ID}, \overline{IB})\) et que

\[ \frac{|\overline{OD}|}{|\overline{OB}|} = \frac{|\overline{ID}|}{|\overline{IB}|} \]

d) En utilisant le triangle rectangle isocèle ICD et le point B, calculer la mesure de l'angle \((ID, IB)\) et le rapport \(\frac{|\overline{ID}|}{|\overline{IB}|}\). (0,5 pt)

e) En déduire le centre, le rapport et l'angle de S. (0,5 pt)

f) On rapporte maintenant le plan \( \mathcal{P} \) au repère orthonormé direct (A; \( \overline{U}, \overline{V} \)) où \( \overline{U} = \frac{1}{2} AB \) et \( \overline{V} = \frac{1}{4} AD \).

a) Déterminer les affixes des points A, B, D et I. (0,25 pt)

b) Donner l'expression complexe de S et préciser ses éléments caractéristiques. (0,25 pt)

c) Donner l'expression complexe de σ et montrer que l'image par σ du point I est le centre Ω de S. (0,25 pt)

1°- a) Résoudre dans ℤ × ℤ l'équation 11x – 8y = 1. (0,50 pt)

b) Calculer PGCD (319, 232, 145) puis résoudre dans ℤ × ℤ l'équation 319x – 232y = 145. (1,00 pt)

2°- Une urne contient 81 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 81. L'épreuve E consiste à tirer au hasard et successivement deux boules de l'urne, sans remettre dans l'urne la boule tirée.

a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « Tirer deux boules portant deux numéros pairs ». (0,50 pt)

B : « Tirer deux boules portant deux numéros multiples de 3 ». (0,50 pt)

C : « Tirer deux boules portant deux numéros qui sont des nombres premiers ». (0,50 pt)

3°- Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On donne les deux droites (D₁) d'équation 11x – 8y – 1 = 0 et (D₂) d'équation 319x – 232y – 145 = 0. À l'épreuve E décrit précédemment, on associe le point M(x, y) du plan où x est le numéro porté par la première boule tirée et y par la seconde. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

D : « Le point M appartient à la droite (D₁) ». (0,50 pt)

E : « Le point M n'appartient pas à la droite (D₂) ». (0,50 pt)

On considère la fonction numérique f définie par :

\[ f(x) = \begin{cases} 1 + \frac{x - 1}{\ln |x|} & \text{si } x < 0 \\ \frac{(x + 1)^2 e^{-x}}{x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]

On note (C) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j) d'unité 1 cm.

Partie A

1°- Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. (0,75 pt)

2°- On considère la fonction g définie sur ]–∞; 0[ par g(x) = 1 – x + x ln |x|.

a) Étudier les variations de g. (0,75 pt)

b) Montrer qu'il existe un réel unique α ∈ ]–4; –3[ tel que g(α) = 0. (0,25 pt)

c) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (0,25 pt)

3°- a) Montrer que pour tout x < 0, x ≠ –1, f'(x) a le même signe que –g(x).

b) Vérifier que f'(α) = 0 et que f(α) = 1 + α où α est défini dans 2°/b). (0,50 pt)

c) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. (0,25 pt)

4°- a) Étudier les branches infinies de (C). (0,50 pt)

b) Calculer à 10⁻¹ près : f(−8), f(−6), f(−2) et f(−\(\frac{1}{2}\)). (0,50 pt)

c) Prendre α = –3,6 et construire la courbe (C). (0,50 pt)

On donne : ln 2 ≈ 0,7 ; ln 6 ≈ 1,8 ; e ≈ 2,7.

Partie B

1°- On considère l'équation différentielle (E) : \( y'' - y' - 2y = e^{-x}(-6x - 4) \).

a) Vérifier que la fonction φ définie sur ℝ par φ(x) = \( e^{-x}(x^2 + 2x) \) est solution de (E). (0,50 pt)

b) Montrer qu'une fonction numérique f est solution de (E) si et seulement si f – φ est solution de l'équation différentielle (E') : \( y'' - y' - 2y = 0 \). (0,25 pt)

c) Résoudre (E') et en déduire toutes les solutions de (E). (0,50 pt)

d) Déterminer l'unique solution f de (E) telle que f(0) = 1 et f'(0) = 1. (0,50 pt)

2°- On pose \( I_λ = \int_{0}^{λ} (x + 1)^2 e^{-x} dx \) où λ > 0.

a) Par deux intégrations par parties successives, exprimer \( I_λ \) en fonction de λ. Calculer \( \lim_{λ \to +∞} I_λ \).

b) En déduire, en cm², l'aire du domaine plan (D) ensemble des points M(x,y) tels que x ≥ 0 et 0 ≤ y ≤ f(x). (0,25 pt)

Partie C

On se propose d'étudier la convergence de la suite \( (U_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) définie par :

\[ \forall n \in \mathbb{N}^*, \, U_n = \frac{1}{n^3} \left[ (1+n)^2 e^{-\frac{1}{n}} + (2+n)^2 e^{-\frac{2}{n}} + \cdots + (n+n)^2 e^{-\frac{n}{n}} \right]. \]

1°- Vérifier que

\[ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k+1}{n}\right) = U_n \, \text{et} \, \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = U_n + \frac{e-4}{ne} \]

2°- a) Soit \( n \in \mathbb{N}^* \) et \( k \) un entier tel que \( 0 \leq k \leq n-1 \). Vérifier que

\[ \left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right] \subseteq [0,1] \]

b) En utilisant le sens de variation de \( f \) sur \( [0, 1] \), montrer que :

\[ \frac{1}{n} f\left(\frac{k+1}{n}\right) \leq \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) dt \leq \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \]

c) En déduire que

\[ U_n + \frac{e-4}{ne} \leq \int_{0}^{1} f(t) dt \leq U_n \, \text{et que} \, I_1 \leq U_n \leq I_1 + \frac{4-e}{ne} \]

d) Montrer que \( (U_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) est convergente et donner sa limite.

Dans le plan orienté (P), on considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB = AC et mes \((\overline{AB}, \overline{AC}) = \frac{\pi}{2}\).

1. Dans cette question, le plan (P) est rapporté au repère orthonormé direct (A, \(\frac{\overrightarrow{AB}}{AB}, \frac{\overrightarrow{AC}}{AC}\))

a. Déterminer les affixes respectives z_A, z_B, z_C des points A, B, C. (0,25 pt)

b. Soit T la transformation ponctuelle du plan (P) vers (P) qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que z' = – z + 2i. Caractériser géométriquement T. (0,25 pt)

c. Donner l'expression complexe de la rotation R de centre A et d'angle \(\frac{\pi}{2}\). (0,25 pt)

d. On pose f = T ∘ R. Donner l'expression complexe de f. (0,25 pt)

En déduire la nature et les éléments géométriques de f. (0,25 pt)

e. On note I le centre de f ; donner la nature du quadrilatère ABIC. Justifier votre réponse. (0,25 pt)

Dans toute la suite, on utilisera une méthode géométrique. On pose AB = AC = a où a ∈ ℝ*

2. Soit S la similitude plane directe de centre I qui transforme A en B. On note C' = S(C) ; O' = S(O) où O est le milieu du segment [BC].

a. Donner le rapport et l'angle de S. (0,50 pt)

b. Montrer que C' ∈ [IA]. (0,25 pt)

c. Donner l'image par S du segment [IA] et montrer que O' est le milieu du segment [IB]. (0,75 pt)

3. On considère le système de points pondérés {(A ; –1), (B ; 1), (C ; 1)}.

a. Quel est le barycentre G de ce système ? (0,25 pt)

b. Déterminer et construire l'ensemble (Γ) des points M du plan tels que -MA² + MB² + MC² = a². (0,75 pt)

1. On considère deux dés cubiques parfaitement équilibrés D₁ et D₂ tels que :

• D₁ porte sur ses six faces les chiffres 1, 1, 2, 3, 3, 4
• D₂ porte sur ses six faces les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6

On lance simultanément ces deux dés. On note a le chiffre lu sur D₁ et b le chiffre lu sur D₂.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « obtenir un couple (a, b) tel que a = b » (0,50 pt)

B : « obtenir un couple (a, b) de nombres impairs » (0,50 pt)

2. On prend le dé D₂ dont les six faces sont numérotées de 1 à 6.

On lance une fois ce dé. À chaque entier n obtenu (1 ≤ n ≤ 6), on associe le couple d'entiers (a, b) tels que a = 5n + 3 et b = 3n + 1.

a. Pour n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, donner le couple (a, b) correspondant ainsi que leur plus grand commun diviseur d (d = PGCD(a, b)). (1,00 pt)

b. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

C : « a et b sont des nombres premiers » (0,50 pt)

D : « a et b sont premiers entre eux » (0,50 pt)

3. Résoudre l'équation 13x – 7y = 11, d'inconnues (x, y) ∈ ℕ × ℕ. (1,00 pt)