Pour tout m ∈ R On considère l'équation suivante :
(Em) : (m + 3)x² − 2(m + 2)x + m + 3 = 0
1. Discuter suivant les valeurs de m l'existence et le nombre de solutions de l'équation (Em)
2. (E2024) admet-elle de solution ? Justifier. Si oui, préciser sa solution
3. Pour quelles valeurs de m cette équation admet deux racines strictement positives ?
1. Dans l'équation (m − 2)x² − 2x(m + 1) + 2m + 1 = 0 déterminez si possible les valeurs de m pour lesquelles cette équation admette 2 racines distinctes positives. On précise que m est diffèrent de 2
2. Dans l'équation (m − 6)x² − 4x(m − 1) + m − 3 = 0, déterminez si possible les valeurs de m pour lesquelles cette équation admette 2 racines de signes opposés. On précise que m est diffèrent de 6
3. Dans l'équation (3m − 4)x² − x(2m + 1) − (3m + 1) = 0, déterminez si possible les valeurs de m pour lesquelles cette équation admette 2 racines de signes opposés, la négative ayant la plus grande valeur absolue. On précise que m est diffèrent de 4/3
4. Déterminez si possible m pour que l'équation suivante admette une seule racine et que celle-ci soit positive : mx² + 2x(m − 1) − (m + 1) = 0. On précise que m est diffèrent de 0.
5. Déterminez si possible m pour que l'équation suivante admette 2 racines négatives : (m − 2)x² + 2x(m − 2) + 4m − 7 = 0. On précise que m est diffèrent de 2.
6. Déterminez si possible m pour que l'équation suivante admette 2 racines négatives : (m − 3)x² + x(m − 1) + m + 2 = 0. On précise que m est diffèrent de 3.
7. Déterminez le nombre et le signe des racines des équations suivantes en fonction de la valeur du paramètre de m.
(a) (m − 6)x² − 4x(m − 1) + m − 3 = 0. On précise que m est diffèrent de 6.
(b) (m − 2)x² + 2x(m − 3) + 5m − 6 = 0. On précise que m est diffèrent de 2.
(c) (m² + m − 2)x² + 2x(m + 1) − (m + 1) = 0. On précise que m est diffèrent de 1 et de -2.
8. Déterminer le nombre de solutions de l'équation paramétrique suivante selon les valeurs de m, puis visualiser les résultats obtenus. (m − 1)x² − 2mx + m + 3 = 0 (Em)
On donne l'équation (Em) : mx² + 2(m + 1)x + m − 3 = 0
1. Discuter suivant les valeurs de m de nombre de solutions de cette équation.
2. Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle deux solutions positives
On considère l'équation (m − 1)x² − 4mx + 4m − 1 = 0
1. Pour quelles valeurs de m l'équation est elle du second degré
2. On suppose que m différent de 1. Pour quelles valeurs de m l'équation admet elle une racine double
3. Pour quelles valeurs de m l'équation admet-elle deux solutions réeles distincts
1. En posant X = x², Résoudre les équations suivantes :
x⁴ - x² - 6 = 0 ; 4x⁴ + 9x² + 2 = 0 ; 5x⁴ - 44x² - 9 = 0
2. En posant X = √x, résoudre l'équation 4x + 5√x - 9 = 0
3. Avec un changement de variable adapté, résoudre l'équation 5/x² - 6/x + 1 = 0
4. Avec un changement de variable adéquate, résoudre l'équation 2sin²(x) - sin(x) - 1 = 0
On considère l'équation (E) : x² + (2 - m)x + m + 1 = 0
1. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles cette équation admet
(a) deux solutions strictement positive
(b) deux solutions strictement négative
(c) deux solutions de signes contraires
(d) deux solutions opposées
2. On suppose que l'équation admet deux solutions x₁ et x₂ puis déterminer les racines doubles
On donne P(x) = (m² - 1)x² + (m² + 2m + 1)x + 1 + m
1. Existe t-il une ou des valeurs du paramètre réel m tel que P(x) = 0
2. Déterminer suivant les valeurs de m le degré de P
Dans chacun des cas suivants déterminer les valeurs de m telles que l'équation (E) admette respectivement deux solutions positives, négative et deux solutions de signes contraires
(1) mx² - (2m - 7)x + m + 5 = 0
(2) mx² - (2m + 3)x + m + 1 = 0
(3) (m - 3)x² - (2m - 1)x + m + 2 = 0
On donne l'équation x² + (2t + 1)x + t² + 1
1. discuter suivant les valeurs de t le nombre de solutions de cette équation
2. Pour quelles valeurs de t l'équation admet-elle deux solutions positives
3. Déterminer les valeurs de t pour lesquels l'équation admet deux racines a et b tel que : a² + b² = 29 et |a - b| = 1
On donne l'équation d'inconnue x où m désigne un paramètre réel
(Em) : mx³ + (m + 1)x² - (2m + 1)x - m + 2 = 0
1. Trouver la valeur de m pour que 1 soit une solution de cette équation
2. Résoudre cette équation pour m = 2.
Soit Pₘ(x) = 6x³ - (6m + 1)x² + (m - 15)x + 15m
1. Vérifier que m est une racine de Pₘ(x).
2. Déterminer toutes les racines de Pₘ(x) puis écrire Pₘ(x) sous forme d'un produit de facteur du 1er degré.
3. Étudier le signe de P₁(x).
Déterminer m pour que mx² - 2(m - 1)x + 3m + 2 = 0 admette 1 pour racine puis déterminer alors l'autre racine
1. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m l'existence et les solutions du systèmes
2. Résoudre de trois manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, et par la méthode de Cramer)
3. Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre, selon les valeurs de a, les système suivants :
(a) Résoudre le système (S2) pour (a,b) = (0,1)
(b) Trouver les valeurs de a pour que (S2) a comme solution vide .
Etudier l'existence de solution du système
⎧ ax + by + z = 1
⎨ x + aby + z = b
⎩ x + by + az = 1
1. vérifier l'existence de solution des systèmes suivants.
Système A:
⎧ x + y - z = 0
⎨ x - y = 0
⎩ x + 4y + z = 0
Système B:
⎧ x + y + 2z = 5
⎨ x - y - z = 1
⎩ x + z = 3
2. Résoudre ces systèmes par la méthode de Pivot de Gauss
On considère le système linéaire suivant :
⎧ x - y + z - t = 1
⎨ x + y - z - t = -1
⎨ x + y + z - t = 0
⎩ x - y - z + t = 2
1. que peut-on dire de l'existence de solution de ce système
2. Par la méthode de Pivot de Gauss, résoudre ce système dans R⁴
Première S - mail@stephramiandrisoa.mg-0346130996